抛物线必会十大基本题型专题08以抛物线为情境的几何证明（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练08以抛物线为情景的几何证明典例分析类型一、以抛物线为情景的点与直线或曲线位置关系的证明1．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．2．已知抛物线C：的焦准距为2，过C上一动点作斜率为，的两条直线分别交C于，两点（P，A，B三点互不相同），且满足．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB上一点M，满足，证明：线段PM的中点在y轴上．3．已知抛物线C；，F为抛物线的焦点，直线和抛物线交于不同两点A，B，直线和x轴交于点N，直线AF和直线BN交于点．(1)若，求三角形AMN的面积（用p表示）；(2)求证：点M在抛物线C上类型二、以抛物线为情景的两角关系的证明1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；(2)若F是抛物线C的焦点，证明：．2．已知抛物线的焦点为F，M为T上一动点，N为圆上一动点，的最小值为.(1)求T的方程；(2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且，证明：.类型三、以抛物线为情景的定值问题的证明1．已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．2．已知直线l：，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且（O为坐标原点）．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)已知点P(0，2)，直线与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．3．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.(1)求抛物线的方程.(2)若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.类型四、以抛物线为情景的定点问题的证明1．已知抛物线C：（），过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点到焦点F的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．2．已知抛物线E：（）上一点Q到其焦点的距离为.(1)求抛物线E的方程，(2)设点P在抛物线E上，且，过P作圆C：的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R.3．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小．(1)求曲线的方程；(2)若不经过坐标原点的直线与曲线交于两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.类型五、以抛物线为情景的线段关系的证明1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，M为E上一点，与x轴垂直，且．(1)求抛物线E的标准方程；(2)过F点的直线交抛物线E于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别是，求证：．2．已知AB是抛物线上任意一条焦点弦，且、．(1)求证：，；(2)若弦AB被焦点分成长为m、n的两部分，求证：．巩固练习1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.2．已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．(1)求C的方程；(2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．3．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．(1)求抛物线C的方程；(2)若AB是过抛物线C的焦点F的弦，求证：以弦AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．4．已知经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．(1)当直线的倾斜角为60°时，，求抛物线方程；(2)经过点和原点的直线交抛物线准线于点，求证：直线平行于轴．5．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点．且．(1)求的方程；(2)设动直线平行于直线，且与交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上．6．在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点．7．已知抛物线，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，且．(1)求抛物线的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，点P为抛物线上异于A、B的任意一点，直线、分别与抛物线的准线相交于D、E两点，证明：以线段为直径的圆经过y轴上的两个定点．8．如图，已知抛物线上的点R的横坐标为1，焦点为F，且，过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.(1)求抛物线C的方程；(2)求证：为定值；9．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．10．已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为，直线与交于另一点，线段AD的垂直平分线交于E，F两点.(1)求的值；(2)若，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.11．点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.12．已知抛物线的焦点为，，若点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线交于两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点.13．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于不同的两点．()若，求的值；(2)当时，求证：在轴的正半轴上，存在唯一的点，使得是以为斜边的直角三角形．14．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线E的标准方程．(2)过的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，若直线的斜率分别为，证明：是，的等差中项．15．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3．(1)求抛物线C的方程：(2)设直线l与抛物线C交于D，E两点，抛物线C在点D，E处的切线分别为，，若直线与的交点恰好在直线上，证明：直线l恒过定点．16．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，斜率为2的直线交C于A，B两点．当AB经过点F时，．(1)求C的标准方程；(2)若，PA与C的另一个交点为M，PB与C的另一个交点为N，证明：MN过定点．