抛物线必会十大基本题型专题10以抛物线为情境的探索性问题(原卷版)

2023-11-14 · U1 上传 · 6页 · 366.6 K

抛物线必会十大基本题型讲与练10以抛物线为情景的探索性问题典例分析类型一、有关直线存在性的探索1.已知抛物线上的点到准线的距离为a.(1)求抛物线C的方程;(2)设,O为坐标原点,过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点,问:是否存在直线l,使得,若存在,求出的直线l方程;若不存在,请说明理由.2.已知抛物线的顶点为原点,焦点F与圆的圆心重合.(1)求抛物线的标准方程;(2)是否存在过焦点F的直线,使得与抛物线和圆顺次交于A、B、C、D四点,并且、、满足?若存在,求出直线的方程.类型二、有关三角形面积最值得探索1.在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点O的两个不同的动点A、B满足.(1)求的重心G的轨迹方程;(2)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.2.已知椭圆方程为,若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别在点A,B处作抛物线的切线,两条切线交于P点,则的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及此时对应的直线l的方程;若不存在,请说明理由.类型三、有关定点存在性的探索1.已知点在抛物线上.(1)求抛物线的方程;(2)过点作斜率分别为的两条直线,若与抛物线的另一个交点分别为,且有,探究:直线是否恒过定点?若是,求出该定点;若否,说明理由.2.如图,点是圆:上的动点,点,线段的垂直平分线交半径于点.(1)求点的轨迹的方程;(2)点为轨迹与轴负半轴的交点,不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于,两点,直线,分别与轴交于,两点.若,的横坐标之积是2,问:直线是否过定点?如果是,求出定点坐标,如果不是,请说明理由.3.已知抛物线C:的焦点为F,过点F作两条相互垂直的直线,,直线,分别与抛物线C交于A,B和D,E两点,且当的斜率为1时,.(1)求抛物线C的方程.(2)若点M,N满足,,探究:直线MN是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.类型四、有关定值存在性的探索1.在平面直角坐标系中,动点到点的距离比到直线的距离小2.(1)求的轨迹的方程;(2)设动点的轨迹为曲线,过点作斜率为,的两条直线分别交于M,N两点和P,Q两点,其中.设线段和的中点分别为A,B,过点作,垂足为.试问:是否存在定点,使得线段的长度为定值.若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,说明理由.巩固练习1.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与抛物线交于、两点,与轴交于(1)当,时.求的值;(2)当点重合时,点关于轴的对称点为点,试问直线是否过轴上的定点?若是,请求出点的坐标;若不是,请说明理由.2.已知抛物线的焦点为F,抛物线H上的一点M的横坐标为5,为坐标原点,.(1)求抛物线H的方程;(2)若一直线经过抛物线H的焦点F,与抛物线H交于A,B两点,点C为直线上的动点.①求证:.②是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,求点C的坐标;若不存在,说明理由,3.如图,抛物线E:y2=2px的焦点为F,四边形DFMN为正方形,点M在抛物线E上,过焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点,交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点,求直线l的斜率;(2)若正方形DFMN的边长为1,直线MA,MB,MC的斜率分别为k1,k2,k3,则是否存在实数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由.4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且点F与圆M:(x+4)2+y2=1上点的距离的最大值为1.(1)求p;(2)已知直线l:y=kx+4与C相交于A,B两点,过点B作平行于y轴的直线BD交直线l':y=﹣4于点D.问:直线AD是否过y轴上的一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,试说明理由.5.已知抛物线过点,O为坐标原点.(1)求抛物线的方程;(2)抛物线上是否存在异于O,M的点N,使得经过O,M,N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.6.已知抛物线与双曲线有相同的焦点,且它们的一个交点为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设点,,若过的直线与抛物线交于不同的两点,,且直线与抛物线交于点(不同于点),问直线是否经过定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.7.已知椭圆的离心率为,且经过点,椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4.(1)求椭圆C和抛物线E的方程;(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A,B两点,与椭圆C相交于M,N两点,O为坐标原点,若,则在x轴上是否存在点H,使得x轴平分?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.8.已知抛物线的焦点为F,点在抛物线C上,且.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程;(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若直线MA,MB的斜率之积为-2,试判断直线l能否与圆相切?若能,求此时直线l的方程;若不能,请说明理由.9.已知抛物线C:的焦点为F,过点F作两条相互垂直的直线,,直线,分别与抛物线C交于A,B和D,E两点,且当的斜率为1时,.(1)求抛物线C的方程.(2)若点M,N满足,,探究:直线MN是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.10.已知抛物线的焦点为,且过的弦长的最小值为4.(1)求的值;(2)如图,经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点,且直线的斜率分别为.问:是否存在定点,使得为定值?若存在,请求出点的坐标.11.已知抛物线:,点在的焦点的右侧.且到的准线的距离是到距离的倍,经过点的直线与抛物线交于不同的、两点,直线与直线交于点,经过点且与直线垂直的直线交轴于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)判断直线与直线的位置关系,并说明理由.12.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.13.在直角坐标系中,曲线:与直线(>0)交与两点,(Ⅰ)当时,分别求在点和处的切线方程;(Ⅱ)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由。

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