抛物线必会十大基本题型专题07以抛物线为情境的定点问题——抛物线必会十大基本题型讲与练（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练07以抛物线为情景的定点问题典例分析类型一、以向量为情景的线过定点问题1．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（       ）A． B． C． D．2．已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（ ）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件3．已知抛物线的方程为：，A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且其中O为坐标原点，则直线AB过定点M的坐标为___________．类型二、以斜率为情景的线过定点问题1．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线的焦点为F，A，B为抛物线C上在第一象限的两点，记直线与直线的斜率分别为与，且，则直线恒过定点___________.类型三、以角为情景的线过定点问题1．已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点、，若轴是的角平分线，则直线一定过点（       ）A． B． C． D．2．抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点N（不同于点M），且满足，则点N的坐标为（       ）A． B． C． D．3．已知抛物线，过点引抛物线的两条弦、，分别交抛物线于两点，且，则直线恒过定点坐标为（       ）A． B． C． D．4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，，与分别交于，则直线过定点（       ）A． B． C． D．类型四、有关线过定点的探索与证明1．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的纵坐标为1，且，A，B是抛物线E上异于O的两点(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB恒过定点．2．已知抛物线过点，O为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；(3)抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.巩固练习1．已知直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则直线恒过定点（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线，其准线为l，则过l上任意一点作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（       ）A． B． C． D．3．已知直线与抛物线交于、两点且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点（       ）A． B． C． D．4．已知直线过抛物线的焦点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则实数的值为（       ）A． B． C． D．5．已知抛物线，过其焦点作抛物线相互垂直的两条弦，，设，的中点分别为，，则直线与轴交点的坐标是（       ）A． B． C． D．不能确定6．抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（       ）A．2 B．4 C．5 D．67．已知、B为抛物线上异与原点O的两动点，以AB为直径的圆过点O，则直线AB是否过定点（       ）A．不过定点 B．不能确定 C．过定点（4，0）； D．过定点（1，0）8．抛物线内接（为坐标原点）的斜边过定点（       ）.A． B． C． D．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（       ）A． B． C． D．10．（多选题）直线l与抛物线相交于，，若，则（       ）A．直线l斜率为定值 B．直线l经过定点C．面积最小值为4 D．11．（多选题）已知，是抛物线：上异于坐标原点的两个动点，且以为直径的圆过点，则（       ）A．抛物线的准线方程为 B．直线的斜率为C． D．直线过定点12．（多选题）点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且，设直线，的斜率分别为，，则下列结论成立的是（       ）A． B．C．直线过点（1，－2） D．直线过点（－1，2）13．已知点在抛物线上，点到的焦点的距离为，到轴的距离为.直线与抛物线相交于点以为直径的圆恒过坐标原点，则直线经过定点____________.14．已知圆M经过点，且与直线相切，圆心M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)经过点且不平行于x轴的直线与C交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为R，证明：直线QR经过定点．15．已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．(1)求C的方程；(2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．16．如图，已知点A是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．(1)求抛物线的方程及A点坐标；(2)问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．17．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点.(1)求椭圆及抛物线的方程；(2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围.