妙解高考数学填选压轴题专题55 一类貌似神离的不等式求最值-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 6页 · 182.2 K

专题55一类貌似神离的不等式求最值【方法点拨】1.已知,求的最值型(其中、、、均为正数).此类问题应归结为“知和求和”型,解决的策略是利用常数代换,即将“1”将已知与所求进行相乘,从而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解;也可用“权方和不等式”求解.2.已知,求的最值型.此类问题应采取“强分”的方法,即将分解为,然后直接使用基本不等式求解为最简单途径.说明:关键要分清题设的条件的不同,根据不同的“结构特征”寻找解题的突破口,决不要“张冠李戴”.【典型题示例】例1已知,求的最小值.【答案】【解析一】对两边同时除以得(等号成立条件略)即的最小值.【解析二】(权方和不等式)对两边同时除以得所以所以(等号成立条件略)即的最小值.说明:已知,则有:(当且仅当时,等号成立).上式称为二元变量的权方和不等式,用于“知和求和型”求最值.此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解,由,再代入到所求表达式,求出最值即可,但要注意的范围需由缩定.例2已知,求的最小值.【解析】因为所以所以,即.说明:此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解,由,再代入到所求表达式,求出最值即可,但要注意的范围需由缩定.【巩固训练】1.已知正实数满足,则的最小值为__________2.已知,,则的最小值为.3.如图,已知三角形ABC中,AB=1,AC=2,若点M为线段BC的三等分点(靠近B点),则的最小值为 . 4.已知a>0,b>0,且则的最小值是.5.已知x>1,y>1,则的最小值是.6.已知a>0,b>0,且,则的最小值是.7.已知x>1,y>1,xy=10,则的最小值是.8.已知正数满足,则的最小值为.9.已知,则的最小值为.10.已知正实数x,y满足x+y=xy,则的最小值是 .11.已知a>0,b>0,且,则的最小值是.【答案与提示】1.【答案】【提示】由强分即可.2.【答案】【提示】权方和不等式立得,或换元等.3.【答案】【解析】,,.4.【答案】【解析】,当,即时,等号成立.5.【答案】8【解析】令当,即,两个等号同时成立.6.【答案】【解析】当,即,.7.【答案】:9【解析】∵x>1,y>1,xy=10,∴,且∴,当且仅当时取“=”.8.【答案】【解析】当且仅当,等号成立.9.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.10.【答案】15【解析】x+y=xy可化为,.11.【答案】【解析】当,即,.

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