妙解高考数学填选压轴题专题58 多次使用基本不等式-妙解高考数学填选压轴题

专题58多次使用基本不等式【方法点拨】多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立.【典型题示例】例1若，则的最小值为_______．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【解析】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.例2已知且，则的最小值是_________.【答案】24【解析】由于，故考虑先求出的最小值，.点评：（1）“多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组------------其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联；（2）在求的最小值时，观察式子的结构特征，使用了“1”的代换，其目的仍在于“化齐次”.例3设，，则的最小值为.【答案】【分析】所求变形为.三次使用基本不等式，第一次，在条件下，求最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件下，求最小值，为达到消的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.【解析】由题x+4y=1(x＞0，y＞0)，eq\f(x2+y,xy)=eq\f(x2+(x+4y)y,xy)=eq\f(x,y)+1+eq\f(4y,x)≥4+1=5，当且仅当x=eq\f(1,3)，y=eq\f(1,6)时，“=”成立．因为0＜t＜s，则eq\f(1,ts－t2)=eq\f(4,s2－(s－2t)2)≥eq\f(4,s2)，当且仅当s=2t时，“=”成立．于是eq\f(x2s2+ys2,xy)+eq\f(1,ts－t2)≥5s2+eq\f(4,s2)≥4eq\r(5)，当且仅当x=eq\f(1,3)，y=eq\f(1,6)，s=eq\f(2\r(5),5)，t=eq\f(\r(5),5)时，“=”成立．所以eq\f(x2s2+ys2,xy)+eq\f(1,ts－t2)的最小值为4eq\r(5)．例4已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，那么eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)的最小值为________．【答案】eq\r(10)＋eq\r(5)【分析】a、b间有制约条件“a＋b＝2”，“c”为独立变量，故将所求变形为eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(1,ab)－\f(1,2)))＋eq\f(\r(5),c－2)，先求出eq\f(a,b)＋eq\f(1,ab)的最小值即可.【解析】因为a＞0，b＞0，所以eq\f(a,b)＋eq\f(1,ab)－eq\f(1,2)＝eq\f(a,b)＋eq\f(a＋b2,4ab)－eq\f(1,2)＝eq\f(a,b)＋eq\f(a2＋2ab＋b2,4ab)－eq\f(1,2)＝eq\f(5a,4b)＋eq\f(b,4a)≥eq\f(\r(5),2)，当且仅当b＝eq\r(5)a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(1,ab)－\f(1,2)))＋eq\f(\r(5),c－2)≥eq\f(\r(5),2)c＋eq\f(\r(5),c－2).又因为eq\f(\r(5),2)c＋eq\f(\r(5),c－2)＝eq\f(\r(5),2)(c－2)＋eq\f(\r(5),c－2)＋eq\r(5)≥eq\r(10)＋eq\r(5)，当且仅当c＝2＋eq\r(2)时等号成立，所以eq\f(ac,b)＋eq\f(c,ab)－eq\f(c,2)＋eq\f(\r(5),c－2)的最小值为eq\r(10)＋eq\r(5).点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.【巩固训练】1.已知x＞0，y＞0，则的最小值为．2.已知，则的最小值为．3.已知，，，且，则的最小值为．4.设正实数，满足，则实数的最小值为 ．5.已知正数满足，则的最小值为．6.若，则的最小值为．7.已知正数a,b满足aba+2b≥1，则a+12+b+22的最小值是．【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为∵y＞0∴，当且仅当时，等号成立，∵x＞0，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为，当且仅当，成立．2.【答案】【解析】∵，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为，当且仅当，成立．3.【答案】【解析】先减元＝＝令，，，，在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，＝f（1）＝－2当y＝时，有最小值：所以的最小值为－2＋＝.4.【答案】．【解析】由正实数，满足，化为，为求的最小值，将含“”项用“”的函数表示得：∵（当且仅当，“=”成立）∴，解得．∴实数的最小值为．5.【答案】【解析】将已知条件视为关于的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由解得∴，当且仅当时，取等.6.【答案】10【提示】，，再利用导数知识解决.7.【答案】22+122【解析】由平方均值不等式得a+12+b+222≥a+1+b+22，当且仅当a=b+1时，“=”成立由aba+2b≥1变形得2a+1b≤1所以a+b≥a+b2a+1b=3+2ba+ab≥3+22，当且仅当a=2b，即a=2+2，b=1+2时，“=”成立将a=2+2，b=1+2代入得a+12+b+22=22+122.所以a+12+b+22的最小值是22+122．