妙解高考数学填选压轴题专题56 (一元二次)不等式整数解的个数-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 7页 · 173 K

专题56(一元二次)不等式整数解的个数【方法点拨】不等式(一般是一元二次不等式)的整数解的个数问题,一般采用“分离函数”的方法转化为两函数图象间的位置关系较简单,分离函数的的一般策略是“一动一静,一直一曲,动直定曲”.【典型题示例】例1若关于的不等式的解集中整数恰有3个,则实数的取值范围是_________.【答案】【解析一】原不等式转化为,则,即而的解为,由得:,则,解之得:.【解析二】易知,则原不等式可化为,令,问题转化为两函数、图象问题,当的图象在的图象的下方时的横坐标为整数点有且仅有三个,如下图则,,解之得故实数的取值范围是..【解析三】仿解法二,易知,则原不等式可化为,令,,下同解法二利用图象则,即,解之得故实数的取值范围是.点评:解法一是直接利用“数”解决,即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题,转化为对应的一元二次方程的解之间恰有三个整数,先将其中一个根的范围进行缩定,然后推测其另一个根的范围,利用之布列不等式求解.解法难度较大,不建议使用.而解法二、三,其关键是利用“形”解决,即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题,转化为满足不等关系的函数图象间的横坐标恰有三个整数,从两种解法可以看出,解法三更简单,可谓实现“秒杀”,这对学生的转化能力提出更高的要求.该方法的重中之重在于“分离函数”的能力,一般遵循“一动一静,一直一曲,动直定曲”的原则进行.例2已知函数,过点作曲线的两条切线,切点分别为,,其中.若在区间内存在唯一整数,则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用导数的几何意义,不难得出是方程的两个根,分离函数,问题转化为两函数的交点横坐标间存在唯一整数,利用“形”,易知该整数为1,故只需,解之得.【巩固训练】1.(多选题)若关于的不等式组的整数解的集合为,则整数k的值可以是_________.A.-3;B.0;C.1;D.2.2.若关于的不等式的解集中至多包含2个整数,则实数的取值范围是_________.A.(-3,5);B.(-3,2);C.[-3,5];D.[-2,4].3.设集合,集合.若中恰含有一个整数,则实数的取值范围是()A.B. C.D.4.设0<b<1+a,若关于x的不等式>的解集中的整数恰有3个,则()A.B.C.D.5.已知关于的不等式组有唯一实数解,则实数的取值是_________.6.若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个,则实数a的取值范围是.7.若关于的不等式只有两个整数解1和2,则实数的值是_______.【答案与提示】1.【答案】ABC【提示】由得,,故,即.2.【答案】C【提示】由结合数轴立得.3.【答案】B.【解析】,因为函数的对称轴为,,根据对称性可知要使中恰含有一个整数,则这个整数解为2,所以有且,即,选B.4.【答案】C【解析】由题得不等式,设,,利用函数图象转化为其在点处的函数值大小关系.5.【答案】6.【答案】【解析】分离变量,不等式x2ax+2a<0可转化为x20,利用导数易求出切点P(4,16),欲使不等式x2ax+2a<0的解集中恰有两个整数,其解集中必要整数4,则另一解必为3或5,比较过这两点的直线的斜率,可得;如图二,当a<0,欲使不等式x2ax+2a<0的解集中恰有两个整数,其解集中必要整数0,则另一解必为1或-1,比较过这两点的直线的斜率,可得;综上可得,实数a的取值范围是:或.2xyO图二2xyOP图一6.【答案】【提示】由得,设,故,解得.7.【答案】0【分析】先解出不等式,然后根据整数解确定的值.【解析】原不等式化为,所以,因为整数中只有1,2是不等式的解,0和3都是不是解,则,所以.时,不等式的解为满足题意.故答案为:0.

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