妙解高考数学填选压轴题专题48 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 9页 · 461.7 K

专题48椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1.设椭圆的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点,直线的倾斜角为,且,则间满足.2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦(其中是焦参数,即焦点到对应准线的距离,是直线与轴的夹角,而非倾斜角).说明:(1)公式1的推导使用椭圆的第二定义,不必记忆,要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.(2)双曲线也有类似结论.FxABO【典型题示例】例1已知椭圆方程为,AB为椭圆过右焦点F的弦,则的最小值为 .【答案】【解析】由,得,,则椭圆的离心率为,右准线方程为如图,过作于,则,①设的倾斜角为,则,②联立①②,可得,同理可得,.令,,,..当且仅当,即时上式取等号.的最小值为.故答案为:.例2(2021·江苏南京盐城二调·7)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限,且eqcosθ=\f(1,4).若|AB|=|AF1|,则双曲线C的离心率为A.4B.eq\r(,15)C.eq\f(3,2)D.2【答案】D【解析】,,.例3已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A,B两点.若eq\o(AF,\s\up6(→))=3eq\o(FB,\s\up6(→)),则k=________.【答案】eq\r(2)【解析】如右图,设l为椭圆的右准线,过A、BxDFBBBAyOB/A/分别向l作垂线AA/、BB/,A/、B/分别是垂足,过B作AA/垂线BD,D是垂足设BF=t,AF=3t则,中,故又k>0,所以.【巩固训练】1.设F1,F2分别是椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的离心率为________.2.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为________.3.已知是抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点.设,则与的比值等于.4.已知,是椭圆的左右焦点,若上存在不同两点,,使得,则该椭圆的离心率的取值范围为 A., B. C., D.5.设为双曲线的右焦点,过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点,若,则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.6.设双曲线:的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点,若,则的离心率为__________.7.抛物线y2=4x,直线l经过抛物线的焦点F,与抛物线交于A、B两点,若BA=4BF,则△OAB(O为坐标原点)的面积为______.【答案与提示】1.【答案】【解析】如右图,设直线AB的倾斜角为则,所以由|AF1|=3|F1B|、长短弦公式得:,化简得:代入得:,即解之得:(负值已舍),所以.2.【答案】eq\f(\r(3),3)3.【答案】4.【答案】C【解析】延长交椭圆于,根据椭圆的对称性,则,,由,且,,由,所以,整理得,其中,,由,不重合,所以,,解得,所以,椭圆的离心率的取值范围,.5.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点,则过点且斜率为的直线的方程为,渐近线方程是.由,得,由,得,所以,.由,得,则,即,则,则,故选D.6.【答案】【解析】由可得,设,过分别做准线的垂线,垂足为,由双曲线定义得,,过做垂直于垂足,因为斜率为,所以在中,,可得,即,解得,的离心率为,故答案为.7.【答案】433【解析】由题意可知:AF=3BF,结合焦半径公式有:p1−cosα=3p1+cosα,解得:cosα=12,α=π3,故直线AB的方程为:y=3(x−1),与抛物线方程联立可得:3y2−43y−12=0,则y1−y2=4332−4×(−4)=83,故△OAB的面积S=12×OF×y1−y2=12×1×83=433.

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