妙解高考数学填选压轴题专题40 定线段张定角-妙解高考数学填选压轴题

专题40定线段张定角【方法点拨】当已知中出现三角形一边及其对角均为定值，即“定线段张定角”时，应考虑其中的隐圆.【典型题示例】例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a＝3bcosC＋eq\r(3)csinB，若点M为AC中点，且b＝eq\r(3)，则中线BM的最大值是．【答案】eq\s\do1(\f(3,2))【分析】易求得B＝eq\s\do1(\f(π,3))，问题转化为在一三角形中，已知一边及其对角，求这边上中线的最大值.可以使用中线长定理、基本不等式解决（解析一），作为填空题，利用隐圆，当中线就是该边上的高时最大则更简捷.【解析一】由射影定理得3(bcosC＋ccosB)＝3bcosC＋eq\r(3)csinB，化简得3ccosB=eq\r(3)csinB，又因为sinB≠0，所以tanB＝eq\r(3)，B∈(0，π)，所以B＝eq\s\do1(\f(π,3))．在△ABM和△BCM中，由余弦定理得:c2＝BM2＋eq\s\do1(\f(3,4))－2·eq\s\do1(\f(\r(3),2))BMcos∠BMA，a2＝BM2＋eq\s\do1(\f(3,4))－2·eq\s\do1(\f(\r(3),2))BMcos∠BMC两式相加得BM2＝eq\f(a2＋c2,2)－eq\s\do1(\f(3,4))．又由余弦定理a2＋c2－3＝ac≤eq\f(a2＋c2,2)，所以eq\s\do1(\f(1,2))(a2＋c2)≤3，即a2＋c2≤6，BM2≤eq\f(9,4)，所以BM最大值为eq\s\do1(\f(3,2))，当且仅当a＝c＝eq\r(3)时等号成立．【解析二】由射影定理得3(bcosC＋ccosB)＝3bcosC＋eq\r(3)csinB，化简得3ccosB=eq\r(3)csinB，又因为sinB≠0，所以tanB＝eq\r(3)，B∈(0，π)，所以B＝eq\s\do1(\f(π,3))．在△ABC中，b＝eq\r(3)，B＝eq\s\do1(\f(π,3))，故点B的轨迹是以AC＝eq\r(3)为弦，所对角B＝eq\s\do1(\f(π,3))的弧由平面几何知识得，当AC边上的中线BM就是AC边上的高，即当且仅当a＝c＝eq\r(3)时，BM最大值为eq\s\do1(\f(3,2)).例2设向量满足，，，则的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】D【分析】向量是自由向量，故可将其移至同一起点考虑.由，易知，且其终点间选段长为，由知向量的终点与的终点连线“定线段张定角”，其轨迹是圆弧.【解析】由,得如下左图,设,，则，故点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段弧（端点除外），该圆的半径为1如上右图，当过圆心，即为直径时，最大，此时所以的最大值等于，故选D.例3已知三个内角的对应边分别为，且，，当取得最大值时，的值为__________．【答案】【分析】发现隐圆后，问题的难点在于如何对取得最大值作转化，这里，直接使用数量积的定义.由于，故当最大，即在方向上的投影最大时，取得最大值，从“形”上看，此时过点C的圆的切线与AB垂直.【解析】如图所示，在直径为的圆中，弦固定，点在圆上运动，满足题中的，结合数量积的定义可得，当点位于图中的位置时，取到最大值，此时，，故，所以．【巩固训练】1.在中，点M是边中点，，，则的最大值为．2.在中，已知，，则面积的最大值为．3.在中，，，点G为的重心，点O为的外心，则的最小值为．4.在中，，，点D在边上，且，则的最大值为．5.锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围是.6.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，若，则的取值范围是.7.在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知eq\r(3)asinC＝ccosA，且a＝eq\r(3)，则b2＋c2的取值范围是．【答案或提示】1.【答案】【提示】同例1，是高时最大.2.【答案】2【提示】是等腰三角形时面积最大.3.【答案】【提示】求得，以中点为坐标原点建系，求得点G的的轨迹为圆.4.【答案】【分析】发现隐圆，利用平几知识、余弦定理求出最大值.【解析】∵，∴根据正弦定理，外接圆的直径，如图，当过圆心时最大.连结OB，在△OBD中，∠OBD=300，由余弦定理得：所以即为所求最大值.5.【答案】【解析】根据正弦定理，可化为整理得：由余弦定理得，由正弦定理得（其中为△ABC外接圆半径）如图，下同例2，求出临界值.6.【答案】.【提示】因为，得求出临界状态的值立得.7.【答案】【分析】易求得，点A的轨迹是以BC＝eq\r(3)为弦，所对角A＝eq\s\do1(\f(π,3))的弧，在点A的运动过程中，b2＋c2先增后减，故当b＝c时，达到最大值，而下界是三角形ABC是直角三角形，即AC（或AC）为直径.【解析】由及正弦定理得因为为锐角，所以，所以因为为锐角，所以，所以所以.点A的轨迹是以BC＝eq\r(3)为弦，所对角A＝eq\s\do1(\f(π,3))的弧，在点A的运动过程中，b2＋c2先增后减，故当b＝c时，b2＋c2取得最大值，此时，又因为ABC为锐角三角形，当AC（或AC）为直径时，所以的取值范围为