妙解高考数学填选压轴题专题22 三点共线充要条件的应用-妙解高考数学填选压轴题

专题22三点共线充要条件的应用【方法点拨】在平面内,是不共线向量,设，P、A、B三点共线说明：1.上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值.2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是“1”时，应化“1”.3.遇到条件“两条线段相交于一点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．【典型题示例】例1在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】0或.【分析】条件中向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1，应先变形为系数和是1的情形，求出.继而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底边.【解析】可化为当，且时∵三点共线∴，故，，在，，.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.例2在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出m、n间的等量关系，再使用基本不等式求解.【解析】因为，所以又因为B、P、E三点共线所以m＋3n=1所以，当且仅当时，“=”成立所以的最小值是12．例3已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为_______.【答案】【分析】凑系数使其代数和为1，，取、，即，而可得M、E、F三点共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），，所以的最小值为.例4在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为.【答案】【分析】设，则如图，延长至，使为求的取值范围，只需求点的轨迹.遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设中，，，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆∴，即的取值范围为.点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；（2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”；（3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？例5若是锐角的外心，，，，，则.【答案】【分析】由得，将变形为.如图，作，，则三点共线，且.在，，，故.OACBDE例6已知中，,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是.【答案】【解析】由条件，设，则，其系数和为1设，则，故三点共线由的最小值为，即点到的距离是故中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而.∴的最小值是.【巩固练习】1.如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则.2.如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（）3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为.4.在平面直角坐标系中，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为．5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______.6.在四边形中，.若，则．7.在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝eq\f(1,2)EC，AE与BD交于点O，则eq\o(AO,\s\up6(→))等于( )A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))8.在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．9.在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（）A．1 B．2 C． D．10.已知点是的外心，且，，若，则的值为.11.在中，BC是定长，且，若面积的最大值为2，则边的长为.12.已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为A．B．C．D．13.如图所示，过的重心作一直线分别交于点.若，，则的值为()A.4 B.3 C.2 D.114.已知中，,，CD与BE交于点P，AP=1，BC=4，，则的值是.15.已知中，，,，BM与AN交于点P，，则的取值范围是.16.已知A，B是圆上的动点，，满足对于任意A，B两点恒成立，则实数的取值范围是.【答案与提示】1.【答案】【解析】因为是的中点所以，即因为三点共线，所以，.2.【答案】A【分析】从三点共线入手，将用线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.【解析】∵三点共线∴（其中）又，所以所以，解之得，选A.3.【答案】【解析】根据题意，，∴的终点在线段BC上，∴，∴，∴；又O是MN的中点，∴，∴，∴，∴的最小值是．4.【答案】【简析】设，则，如图，，设则，由勾股定理得，故．5.【答案】【分析】由可得在线段上，故，而，有基本不等式立得.【解析】由，得，因为，所以在线段上所以，又因为，则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）．故的最小值是．6.【答案】－16【解析】由中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”设E为上一点，且，则所以，则四边形是平行四边形，所以.7.【答案】 A【解析】 如图，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))(λ>0)，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)λeq\o(AD,\s\up6(→)).又B，O，D三点共线，∴eq\f(2,3)λ＋eq\f(2,3)λ＝1，∴λ＝eq\f(3,4)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).8.【答案】 eq\f(9,4)【解析】 由D为BC的中点知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，E为AD的中点，故eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4x)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,4y)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M，E，N三点共线，∴eq\f(1,4x)＋eq\f(1,4y)＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4x)＋\f(1,4y)))＝eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)＋eq\f(5,4)≥2eq\r(\f(y,4x)·\f(x,y))＋eq\f(5,4)＝eq\f(9,4)，当且仅当eq\f(y,4x)＝eq\f(x,y)，即x＝eq\f(3,8)，y＝eq\f(3,4)时取等号．∴4x＋y的最小值为eq\f(9,4).9.【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.【解析】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，则，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则有,解可得或(舍），故，故选：B.10.【答案】【提示】解法同例5.11.【答案】2【解析】两边同时除以3得设，则故∵BC是定长，且面积的最大值为2∴当为BC边上的高时，面积取得最大值，此时故.12.【答案】D【解析】因为，所以，由此可知，向量与向量，的一端三点共线，由图象及平面向量共线定理易知的取值范围为．13.【答案】B【解析】欲求的值，可依据题设建立关于的等式(方程思想).因为三点共线，所以可设.因为，所以.因为为的重心，所以.又，故可得，整理得，由此可得，故选B.14.【答案】【分析】关键是求出点P分线段CD所成的比，方法有二，一是利用相似三角形、成比例线段，通过作平行线，二是抓住CD、BE相交于P，两次使用三点共线.【解析一】如图中，过点A作AF∥CD，交BP的延长线于F由平面几何知识易得：AF=2DP，PC=2AF，故PC=4DP∴①②③由①②③解得.【解析二】如上图右中，∵D、P、C三点共线∴（）∵B、P、E三点共线∴（）∴解之得∴（下略）.15.【答案】【提示】，（其中）.16.【答案】[0,4]【提示】设，则，故A，B，D三点共线，且，，易知，只需.