妙解高考数学填选压轴题专题23 极化恒等式-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 11页 · 684.5 K

专题23极化恒等式【方法点拨】极化恒等式:.说明:(1)极化恒等式的几何意义是:设点是△ABC边的中点,则,即:向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差.(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单,让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能,此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合.(3)遇到共起点的两向量的数量积问题,常取第三边的中点,从而运用极化恒等式加以解决.特别适合于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.【典型例题】例1如图,在中,是的中点,是上两个三等分点,,, 则的值是.【解析】设,由极化恒等式得,解之得可得,,因此,,因此.点评:紧紧把握极化恒等式使用条件,三次使用极化恒等式求解.例2已知是边长为2的等边三角形,是平面内一点,则的最小值为 .【答案】【分析】本题的难点在于如何将“二合一”?注意到两向量共起点且其系数和为3,可利用三点共线的方法将其“二合一”,然后使用极化恒等式.【解析】设,则,在上所以如图,取中点为,由极化恒等式得在,由余弦定理得所以当,即为中点时,所以的最小值,此时为中点.例3如图所示,矩形ABCD的边AB=4,AD=2,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点E,若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是.【答案】【分析】取AB的中点设为O,则,然后利用平几知识确定PO的取值范围,代入即可.【解析】取AB的中点设为O,则,当O、P、C共线时,PO取得最小值为;当P与B(或E)重合时,PO取得最大值为PO=2,所以的取值范围是.例4半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足,点是圆内一点,则的取值范围是()A. B.C.D.【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可.【解析】由得在平行四边形中,,故易知四边形是菱形,且设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得所以因为是圆内一点,所以所以,即,选A.例5在△ABC中,AC=2BC=4,∠ACB为钝角,M,N是边AB上的两个动点,且MN=1,若的最小值为,则cos∠ACB=.【答案】【分析】取MN的中点P,由极化恒等式将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1,然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN的中点P,则由极化恒等式得∵的最小值为∴由平几知识知:当CP⊥AB时,CP最小.如图,作CH⊥AB,H为垂足,则CH=1又AC=2BC=4,所以∠B=30o,sinA=所以cos∠ACB=cos(150o-A)=.H例6已知直角三角形ABC中,,AB=2,AC=4,点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上,则的最大值为()A.B.C. D.【答案】D【解析】设中点为,则,又因为,所以,故选:D.例7正方体棱长为2,是棱的中点,是四边形内一点(包含边界),且,当三棱锥的体积最大时,与平面所成角的正弦值为(       )A. B. C. D.【答案】A【分析】由条件及极化恒等式入手,设的中点为,则,所以,故点的轨迹是以为球心,为半径的球被面所截得的半圆,当点在半圆弧的最高点时,三棱锥的体积最大,此时易求得与平面所成角的正弦值为.【解析】设的中点为,则由极化恒等式得,所以,故点的轨迹是以为球心,为半径的球被面所截得的半圆,当点在半圆弧的最高点时,三棱锥的体积最大,此时易求得与平面所成角的正弦值为.【巩固练习】如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AD,\s\up7(―→))=-7,则eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(DC,\s\up7(―→))=________.2.矩形中,为矩形所在平面内一点,,矩形对角线,则值为.3.若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值为________.4.已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=-2,|a+b|=2,那么a·b的最大值为________.5.在中,已知,,则面积的最大值是.6.已知单位向量,,满足,则的值为()A. B. C. D.17.已知,且向量与的夹角为120°,又,则的取值范围为()A. B. C. D.8.已知平面向量满足,,,,那么的最小值为________.9.已知锐角的外接圆的半径为1,,则的取值范围为__________.10.在中,,若是所在平面内的一点,且,则的最大值为_____.11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点,则的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD的边长为1,中心为O,直线l经过中心O,交AB于点M,交CD于点N,P为平面上一点,若2eq\o(OP,\s\up6(→))=λeq\o(OB,\s\up6(→))+(1-λ)eq\o(OC,\s\up6(→)),则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最小值为__________.13.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点,当eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值时,sin∠PAC的值为________.14.在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在x轴,y轴正半轴上移动,AB=2,若点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=2,则OP的取值范围为________.15.在△ABC中,E,F分别是线段AB,AC的中点,点P在直线EF上,若△ABC的面积为2,则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是__________.16.在半径为1的扇形AOB中,若∠AOB=60°,C为弧AB上的动点,AB与OC交于点P,则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(BP,\s\up14(→))的最小值是________.17.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是________.18.已知球的半径为1,是球面上的两点,且,若点是球面上任意一点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式,由得,.2.【答案】【提示】设矩形的对角线交点为O,由,得,.3.【答案】【解析】根据极化恒等式得:,故,所以的最小值为.4.【答案】-54【提示】由a·e=1,b·e=-2得:a·e-b·e=3,即(a-b)·e=3,|a-b|cos=3a·b=14[|a+b|2-|a-b|2]≤-545.【答案】【提示】取BC的中点为D,则,所以因为BC边上的高线长不大于中线长,当中线就是高线时,面积最大,故面积的最大值.6.【答案】A【解析】∵,∴,如图,设中点为,则,且,∴三点共线,,,,∴为等腰三角形,∴,∴.故选:A.7.【答案】C【解析】连结,则设的中点为,由,易知,所以故,故选:C8.【答案】【解析】由,得,即又(其中为向量与的夹角)所以所以.9.【答案】10.【答案】【提示】方法同上.11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【解析】如图,取OB的中点D,连接PD,则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(BP,\s\up14(→))=PD2-OD2=PD2-eq\f(1,4),即求PD的最小值.由图可知,当PD⊥OB时,PDmin=eq\f(\r(3),4),则eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(BP,\s\up14(→))的最小值是-eq\f(1,16).17.【答案】[0,2]【解析】 由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2eq\r(3).当弦MN的长度最大时,MN为球的直径.设内切球的球心为O,则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))=eq\o(PO,\s\up6(→))2-eq\o(ON,\s\up6(→))2=eq\o(PO,\s\up6(→))2-1.由于P为正方体表面上的动点,故OP∈[1,eq\r(3)],所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2].18.【答案】B【解析】设的中点为,则由极化恒等式得因为,点是球面上任意一点所以所以,故选B.

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