妙解高考数学填选压轴题专题15 利用结构相同函数解题-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 14页 · 683.2 K

专题15利用结构相同函数解题【方法点拨】1.一个方程中出现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简.2.同构的基本策略是:“左右形式相当,一边一个变量,取左或取右,构造函数妥当”.【典型题示例】例1(2022·江苏苏大考前指导卷)已知,且成立,则()A. B. C. D.【答案】C【分析】利用构造函数法,结合导数求得正确答案.【解析】依题意,,,构造函数,所以在区间递减;在区间递增.若,则,,不符合题意.若,则,,符合题意,若,此时对任意,有两个不同的实数根,则存在,使“且”成立.对任意,有两个不同的实数根,则存在,使“且”成立.综上所述,.故选:C例2(2022·全国高中数学联赛江苏苏州选拔赛·7)若关于x的不等式恒成立,则实数a的最大值为___________.【答案】【分析】关于x的不等式恒成立,即关于x的不等式恒成立,则,即,分三种情况讨论,分离参数,构造新的函数,利用导数求出函数的最值,从而可得出答案.【解析】关于x的不等式恒成立,即关于x的不等式恒成立,因为函数为增函数,所以,所以,当时,无意义,故;当时,则,则,令,则,所以函数在上递减,当时,,所以,与矛盾,所以舍去,当时,则,令,则,当时,,当时,,所以函数在上递减,在上递增,所以,所以,综上所述,,所以实数a的最大值为.故答案为:.点评:利用同构得出后,由函数图象则易得,故实数a的最大值为.例3(2022·江苏南通一模)已知均为锐角,且,则A. B.C. D.【答案】D【解析】,,令,,,在,,,,选D.例4(2021·江苏新高考适应性考试·8)已知且,且,且,则()A.B.C.D.【答案】D【解析一】往结构相同方向变形,将已知变形为,,,设函数,则所以在上单减,在上单增所以,,所以.【解析二】将已知两边取对数:,,,再往结构相同方向变形:,,设函数,则所以在上单减,在上单增所以,,所以.例5已知实数a,b满足,,则a+3b=.【答案】16【解析】令,则,代入可化为,即设,则,在上单增故只有一个零点所以,即,所以.例6已知函数,,则t的取值范围是.【答案】【分析】这里可以发现,将移项变形为,易知是奇函数,,故进一步变形为,此时,得到一个“左右形式相当,一边一个变量”的不等式,令,问题转化为,只需研究的单调性,逆用该函数的单调性即可.【解析】∵∴可变形为:∵是奇函数∴∴令,则∴单增 ∴,即,解之得所以t的取值范围是.例7已知实数,满足,,则______.【答案】【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式,令,得到,研究函数的单调性,求出关系,即可求解.【解析一】实数,满足,,,,则,,所以在单调递增,而,.【解析二】对两边取自然对数得:,对两边取自然对数得:(※)为使两式结构相同,将(※)进一步变形为:设,则所以在单调递增,的解只有一个.∴,∴点评:两种解法实质相同,其关键是对已知等式进行变形,使其“结构相同”,然后构造函数,利用函数的单调性,利用是同一方程求解.【巩固训练】1.若,则()A. B. C. D.2.若,则()A. B. C. D.3.(多选题)已知对任意,恒成立,则 A. B. C. D.4.如果,,则的取值范围是_______.5.不等式的解集是______________.6.已知,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为.7.已知实数a,b(0,2),且满足,则a+b的值为_______.8.设方程的根为,方程的根为,则=.9.已知a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,那么a+b的值是.10.不等式的解集是.11.若满足2x+=5,满足2x+2(x-1)=5,+=()A.B.3C.D.412.已知实数a,b(,),且满足,则a,b,的大小关系是.13.已知关于的方程在区间,上有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为____________.14.已知且,,其中e是自然对数的底数,则A.B.C.D.15.已知,的根分别为,,则下列关于的式子中等于的是()B.C.D.16.若方程,的根分别为,,则______.17.(2022·南京零模复习卷·8)已知,,且,则下列结论一定正确的是()A. B. C. D.18.(2022·江苏金陵中学·网课质检卷·7)已知,则与的大小关系是A.B.C. D.不确定19.(2022·江苏南京零模·8)已知且,其中e是自然对数的底数,则A.B.C.D.【答案与提示】1.【答案】B【解析】∵∴,故设,则为增函数,所以,所以.,当时,,此时,有当时,,此时,有,所以C、D错误.故选B.2.【答案】A【分析】将已知按照“左右形式形式相当,一边一个变量”的目的变形,然后逆用函数的单调性.【解析】由移项变形为设易知是定义在R上的增函数,故由,可得,所以从而,故选A.3.【答案】BD可变形为设(),则,是奇函数且在单减所以,故,排除A.对于B,由权方和不等式有,故B正确.对于C,当时,,不成立.对于D,,所以,故D正确.4.【答案】【提示】变形为.5.【解析】原不等式可化为:构造函数,则,在上单增所以,解之得所以原不等式解集是.6.【答案】【分析】本题的实质是含参数(这里当然是sin、cos)的不等式恒成立问题,应抓住已知条件的对称结构,构造函数,利用函数的单调性布列不等式.【解析】看到想“对称结构”,将它变形为:,设,易知当时,,故在单减,所以,解之得:所以的取值范围.7.【答案】2【分析】将化为:,设,则在上递增,由,得a+b的值.【解析】由,化简为:,即,设,则在上递增,因为a,b(0,2),所以2-b(0,2),且,所以,即.8.【答案】49.【答案】2【解析】由题意知a3-3a2+5a-3=-2,b3-3b2+5b-3=2,设f(x)=x3-3x2+5x-3,则f(a)=-2,f(b)=2.因为f(x)图象的对称中心为(1,0),所以a+b=2.点评:本题的难点在于发现函数的对称性,对于三次函数f(x)y=ax3+bx2+cx+d其对称中心为(x0,f(x0)),其中f″(x0)=0.10.【答案】【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征,发现其含有两个因式,将不等式转化为“一边一个变量”的形式为:,构造函数,题目转化为求解的问题.因为,易知恒成立,故为上的单调增函数,所以由立得:,解之得.11.【答案】C12.【答案】【提示】构造函数,单增.13.【答案】【解析】因为方程,所以变形为,令,则有,因为在上单调递增,所以即为,故当时,有两个不相等的实数根,在中,则有,即,解得,所以实数的取值范围为.14.【答案】A【解析】设,则,又,所以在上单调递增,所以,即,因为,所以在上单调递减,所以.15.【答案】C16.【答案】4【提示】对于方程两边同时除以9得,即①,即②②为同一方程,故,代入得,故.17.【答案】B【解析】考察函数,易得∴在单增∵且,∴,故,B正确.18.【答案】C【分析】所求即判断、的大小,应考察函数的单调性及、的大小.【解析】由已知得,,在同一坐标系内作出函数、及图象,由图象不难得出考察函数,∴在单增∴,故,C正确.19.【答案】A【解析】设,则,又,所以在上单调递增,所以,即,因为,所以在上单调递减,所以.

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