妙解高考数学填选压轴题专题32 关于指对的两个重要不等式-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 9页 · 362.4 K

专题32关于指对的两个重要不等式【方法点拨】1.重要不等式:(1)对数形式:x≥1+lnx(x>0),当且仅当x=1时,等号成立.(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链:ex>x+1>x>1+lnx(x>0,且x≠1).2.树立一个转化的意识,即“等”与“不等”间的互化,运用“两边夹逼”的方法,将不等式转化为等式,关注等号成立的条件.【典型题示例】例1(2022·江苏扬州中学·下学期开学检测)已知实数a,b,c满足eEQ\S\UP6(a+c)+eEQ\S\UP6(4b-c-1)≤a+4b+1(其中e为自然对数的底数),则a2+b2的最小值是.【答案】【解析】根据常见不等式(当且仅当,等号成立)所以(当且仅当,等号成立)(当且仅当,等号成立)所以又因为所以(当且仅当,时成立)所以.例2已知,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.【答案】B【分析】由,从而得到,由,从而得到和,即可得到答案.【解析】设,,令,解得.,,为减函数,,,为增函数.所以,即,当且仅当时取等号.所以.故,即.设,,令,解得.,,为增函数,,,为减函数.所以,即,当且仅当时取等号.所以.所以,又因为,所以.又因为,所以,即,综上.故选:B.例3若实数满足,则()A.B.C.D.【答案】A【分析】思路一:据果变形,直接使用重要不等式,两边夹逼将不等式转化为等式.思路二:一边一个变量,构造两个函数,分别求出其最值,夹逼将不等式转化为等式.【解析一】∵∴易知,当且仅当x=1时,“=”成立∴,当且仅当,时,“=”成立根据不等式性质有所以此时必有,(下略).【解析二】∵∴令,利用导数知识易求得,所以,即故,此时,(下略).例4已知都是正数,,,则的最大值是.【答案】【分析】由,换元令,则,考虑“形”,恒成立,夹逼得,同理处置,最后使用基本不等式求解.【解析】,令,则事实上(当且仅当时,“=”成立),故;,令,则事实上(当且仅当时,“=”成立),故;所以,(当且仅当,时,“=”成立)故的最大值是.【巩固训练】1.已知正实数满足,则.2.己知实数a,b,c满足ea+c+e2b−c−1≤a+2b+1(e为自然对数的底数),则a2+b2的最小值是.3.若对于任意正实数,不等式恒成立,则实数的最大值是.4.己知实数a,b满足2lna−e2b≥a2−2b−2(e为自然对数的底数),则a+2b=.5.实数,满足且,则的取值为__________.6.已知对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为______.7.(多选题)经研究发现:任意一个三次多项式函数的图象上都有且只有一个对称中心点,其中是的根,是的导数,是的导数.若函数图象的对称中心点为,且不等式对任意恒成立,则()A. B.C.m的值可能是 D.m的值不可能是【答案或提示】1.【答案】【解析】当且仅当,,即,时,“=”成立,此时.2.【答案】【分析】将已知变形为ea+c+e2b−c−1≤[(a+c)+1]+[2b−c−1+1],联系重要不等式ex≥x+1,夹逼得.【解析】∵∴,所以又∵∴当且仅当时成立∴,所以.3.【答案】【提示】由,得,所以.4.【答案】1【提示】由,得,而故,此时,,所以.5.【答案】【分析】不等式变形为,引入新函数后,由导数确定函数的单调性与极值,从而确定结论.【解析】原不等式可化为,令,,则,令,则,时,,递减,时,,递增,所以,对有,所以恒成立,因此,由得,且.,.故答案为:.6.【答案】【解析】因为,当且仅当时,“=”成立所以不等式恒成立转化为对任意的恒成立,解之得.7.【答案】ACD【分析】先根据对称中心求解出的值,再根据求解出的值,由此可求的解析式;根据不等式恒成立,通过分离参数得到,借助不等式得到,由此求解出的范围并判断.【解析】由题意可得,因为,所以,所以,解得,故.因为,所以等价于.设,则,从而在上单调递增.因为,所以,即,则(当且仅当时,等号成立),从而,故.故选:ACD

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