专题02函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1.若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),其作用是将“变量化正”,从而避免分类讨论.2.以具体的函数为依托,而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围,是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式,考查学生运用知识解决问题的能力,综合性强,体现能力立意,具有一定难度.【典型题示例】例1(2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编)已知函数eqf(x)=1-\f(a,5\s\up6(x)+1)为奇函数,且存在m∈[-1,1],使得不等式eqf(x\s\up6(2))+f(mx-2)≤2-x\s\up6(2)-mx成立,则x的取值范围是.【答案】[-2,2]【解析】求得a=2,且f(x)为R上的增函数,eqf(x\s\up6(2))+f(mx-2)≤2-x\s\up6(2)-mx可化为f(x2)+x2≤2-mx-f(mx-2)由f(x)为奇函数,得2-mx-f(mx-2)=2-mx+f(2-mx)令F(x)=f(x)+x,则F(x2)≤F(2-mx),故有x2≤2-mx,即x2+mx-2≤0令G(x)=x2+mx-2因为存在m∈[-1,1],使G(x)=x2+mx-2≤0故G(-1)=x2-x-2≤0或G(1)=x2+x-2≤0解之得-2≤x≤2.例2已知函数f(x)=x3-2x+ex-eq\f(1,ex),其中e是自然对数的底数,在f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性,将移项,运用奇偶性再将负号移入函数内,逆用单调性脱“f”.【解析】 ∵f(-x)=(-x)3+2x+e-x-ex=-f(x)且x∈R,∴f(x)是奇函数∵函数f(x)=x3-2x+ex-eq\f(1,ex),∴f′(x)=3x2-2+ex+eq\f(1,ex)≥3x2-2+2eq\r(ex·\f(1,ex))≥0(当且仅当x=0时取等号),∴f(x)在R上单调递增.,由f(a-1)+f(2a2)≤0,得f(2a2)≤f(1-a).所以2a2≤1-a,解之得-1≤a≤eq\f(1,2).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,2))).例3已知函数(为自然对数的底数),若,则实数的取值范围为.【答案】【分析】本题是例2的进一步的延拓,其要点是需对已知函数适当变形,构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高,难度更大.【解析】令,易知是奇函数且在上单调递增由得即由是奇函数得,故由在上单调递增,得,即,解得,故实数的取值范围为.例4已知函数.若存在使得不等式成立,则实数的取值范围是________.【答案】【分析】令,判断函数的奇偶性与单调性,从而将不等式转化为,分离参数可得,令,,利用对勾函数的单调性可得,结合题意即可求解的取值范围.【解析】函数,若存在使得不等式成立,令,,所以,为奇函数.不等式,即,即,所以,因为在上为增函数,在上为增函数,所以在上为增函数,由奇函数的性质可得在上为增函数,所以不等式等价于,分离参数可得,令,,由对勾函数的性质可知在上单调递减,在上单调递增,(1),(4),所以,,所以由题意可得,即实数的取值范围是.故答案为:.例5已知函数,若,则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】函数,故关于直线对称,且在,上单减,函数的图象如下:,且恒成立,,即,当时,不等式化为:,即,解得,即;当时,不等式化为:,即,解得或,即或;综上,时,实数的取值范围是,,.故选:.例6已知函数,,则t的取值范围是.【答案】【分析】将已知按照“左右形式相当,一边一个变量”的原则,移项变形为,易知是奇函数,故进一步变为(#),故下一步需构造函数,转化为研究的单调性,而单增,故(#)可化为,即,解之得.例7(2022·江苏南通期末·8)已知函数,,,,则()A. B.C. D.【答案】B【分析】分析可知函数在上为增函数,推导出函数的图象关于直线对称,则函数在上为减函数,可得出,利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【解析】令,其中,则,因为函数、均为上的增函数,故函数也为上的增函数,当时,,此时,故函数在上为增函数,因为故函数的图象关于直线对称,则函数在上为减函数,所以,,,则,即,,则,则,即,因此,.故选:B.【巩固训练】1.若函数为偶函数,则实数=2.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.3.已知函数,则满足的实数x的取值范围是.4.已知函数,若,则实数的取值范围__________.5.已知函数,若,则实数的取值范围是__________.6.已知函数,,若,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.7.(多选题)关于函数下列结论正确的是()A.图像关于轴对称 B.图像关于原点对称C.在上单调递增 D.恒大于08.已知函数,则关于的不等式的解集为().A. B.C. D.9.已知函数.若存在m∈(1,4)使得不等式成立,则实数的取值范围是A. B.C.D.10.已知函数,则关于x不等式的解集为()A. B. C. D.11.已知,若恒成立,则实数的取值范围___.12.已知,若恒成立,则实数的取值范围___.13.已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.14.已知函数,若不等式对任意均成立,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案或提示】1.【答案】1【解析】奇函数,,.2.【答案】B【解析】偶函数,且在单增,转化为,解得或.3.【答案】(2,3)【解析】奇函数,且单减,转化为,解得.4.【答案】【解析】设,则奇函数,且单增,而,由得即,故,解之得.5.【答案】【解析】在上单调递增,在上单调递增,且,在R上单调递增,因此由得,故答案为:6.【答案】A【解析】,该函数的定义域为,,所以,函数为偶函数,当时,,任取,,则,,所以,,,,即,所以,函数在上单调递增,,,则,即.故选:A.7.【答案】ACD8.【答案】C【解析】构造函数,由于,所以,所以的定义域为.,所以为奇函数,.当时,都为增函数,所以当时,递增,所以在上为增函数.由,得,即,所以,解得.所以不等式的解集为.故选:C9.【答案】C【解析】设,则为定义在的奇函数所以关于点对称又所以当时,,在上单增故在上也单增因为可化为所以因为为的奇函数,所以又因为存在m∈(1,4)使得不等式成立,分参得易得,所以,故选C.10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增,进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数的定义域为,,所以函数为奇函数,因为,所以函数在上单调递增,所以,所以,即,解得所以不等式的解集为故选:A11.【答案】【分析】先分析的奇偶性和单调性,则等价于,所以,可转化为,即,求即得解【解析】因为,所以是上的奇函数,,,所以是上的增函数,等价于,所以,所以,令,则,因为且定义域为,所以是上的偶函数,所以只需求在上的最大值即可.当时,,,则当时,;当时,;所以在上单调递增,在上单调递减,可得:,即.故答案为:.12.【答案】【分析】先分析的奇偶性和单调性,则等价于,所以,可转化为,即,求即得解【解析】因为,所以是上的奇函数,,,所以是上的增函数,等价于,所以,所以,令,则,因为且定义域为,所以是上的偶函数,所以只需求在上的最大值即可.当时,,,则当时,;当时,;所以在上单调递增,在上单调递减,可得:,即.故答案为:.13.【答案】D【分析】构造函数,判断函数的奇偶性与单调性,将所求不等式转化为,即,再利用函数单调性解不等式即可.【解析】,令,则,可得是奇函数,又,又利用基本不等式知当且仅当,即时等号成立;当且仅当,即时等号成立;故,可得是单调增函数,由得,即,即对恒成立.当时显然成立;当时,需,得,综上可得,故选:D.14.【答案】A【分析】由题设,构造,易证为奇函数,利用导数可证为增函数,结合题设不等式可得,即对任意均成立,即可求的范围.【解析】由题设,令,∴,∴为奇函数,又,即为增函数,∵,即,∴,则,∴对任意均成立,又,当且仅当时等号成立,∴,即.故选:A
妙解高考数学填选压轴题专题02 函数的奇偶性与单调性-妙解高考数学填选压轴题
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