妙解高考数学填选压轴题专题39 圆的弦被内（外）分成定比-妙解高考数学填选压轴题

专题39圆的弦被内（外）分成定比【方法点拨】1.利用垂径定理通过二次解直角三角形求出弦长，进而求出“弦心距”，最后利用“点线距”列方程；2.利用圆幂定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理)求出弦长，然后同上.3.（1）相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则（2）如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则：(1)（切割线定理）;(2)（割线定理).说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为．【答案】y＝x－1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.【解法一】易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)．由eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，设BM＝2t，MA＝t.如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝eq\f(3t,2).设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3t,2)))2＝r2＝5.在Rt△OMH中，d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))2＝OM2＝1，解得d2＝eq\f(1,2)，则d2＝eq\f(k2,k2＋1)＝eq\f(1,2)，解得k＝1或k＝－1.因为点A在第一象限，eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，由图知k＝1，所以所求的直线l的方程为y＝x－1.【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t又过点M的直径被M分成两段长为、由相交弦定理得，解之得过原点O作OH⊥l于点H，在Rt△OBH中，d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3t,2)))2＝r2＝5，解得d2＝eq\f(1,2)，（下同解法一，略）.【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(BM,\s\up14(→))＝(1－x2，－y2)，eq\o(MA,\s\up14(→))＝(x1－1，y1)．因为eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＝2x1－1，,－y2＝2y1.))当直线AB的斜率不存在时，eq\o(BM,\s\up14(→))＝eq\o(MA,\s\up14(→))，不符合题意．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＋y2＝5，))得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－2k,1＋k2)，,y1·y2＝\f(－4k2,1＋k2)，,－y2＝2y1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝\f(2k,1＋k2)，,y2＝\f(－4k,1＋k2)，))所以y1·y2＝eq\f(－8k2,1＋k22)＝eq\f(－4k2,1＋k2)，即k2＝1.又点A在第一象限，所以k＝1，即直线AB的方程为y＝x－1.【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(BM,\s\up14(→))＝(1－x2，－y2)，eq\o(MA,\s\up14(→))＝(x1－1，y1)．因为eq\o(BM,\s\up14(→))＝2eq\o(MA,\s\up14(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＝2x1－1，,－y2＝2y1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＝2x1－3，,－y2＝2y1.))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝5，,x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＝5，))代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝5，,2x1－32＋4y\o\al(2,1)＝5，))解得x1＝2，代入可得y1＝±1.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y＝x－1.点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.．例2已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标的取值范围为．【答案】【解法一】取中点，连接、，设，则，相减得，∴，即∴【解法二】由圆幂定理得：设，代人上式得：，即∴【解法三】（利用圆中最长弦为直径，得出PA范围，而PA的两个端点都在动，以静制动，然后再将PA范围转化为PM范围问题）因为PA=BA，所以PA的最大值为2，故PM的最大值为4（下略）.【巩固训练】1.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则．2.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．3.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是．4.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为.【答案与提示】1.【答案】【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.，即，整理化简得.过点作的垂线交于，则，得.又圆心到直线的距离，所以，.【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.由，即得三点共线（其中是的中点），且，设，思路一：垂径定理后二次解三角形，，解之得.思路二：相交弦定理，，解之得.2.【答案】【提示】由于△PBC与△PAC同高，故PB=2PA.3.【答案】【简析】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.4.【答案】【提示】直接利用勾股定理转化.