专题16运用同构求值【方法点拨】含有指对运算的方程称之为超越方程,遇到相关的求值问题,可考虑”同构”,其关键是对已知等式进行变形,使其“结构相同”,然后构造函数利用函数的单调性,最终利用两方程“同解”来求解.【典型题示例】例1(2022·新高考I·22改编)已知函数和,存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标分别为,则.【答案】2【分析】由“等高”得,即,这样就建立间的等量关系,为达到“减元”之目的,需在纷杂的关系中,梳理出、两组关系,发现“指对同现”想“同构”,从而得到,,代入求解即得解.【解析】令得所以函数在上为减函数,在上为增函数,且.令得所以函数在上为减函数,在上为增函数,且.故函数和有相同的最小值1如下图所示,当直线过函数和的交点时,满足题意,此时,故由,得即一方面,而所以又因为,,且在上为减函数所以,所以另一方面,由,同理可得所以再由和得据果移项得,所以综上,.例2(2022·四川·成都·二检)已知函数的零点为,则.【答案】1【分析】“据果变形”,由题意得,所以,观察期结构特征,对右侧实施变形,设即可.【解析】由题意得:∴设在上单增故有,即∴.例3(2022·江苏七市三模)已知函数的零点为,的零点为,则A. B. C. D.【答案】BCD【解析】,则,显然单增,故等价于,则,故A错误;因为单增,且,故,则故,则B正确;,则C正确;D.,因为,故,则,而,则,故D正确.例4已知实数,满足,,则______.【答案】【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式,令,得到,研究函数的单调性,求出关系,即可求解.【解析一】实数,满足,,,,则,,所以在单调递增,而,.【解析二】对两边取自然对数得:,对两边取自然对数得:(※)为使两式结构相同,将(※)进一步变形为:设,则所以在单调递增,的解只有一个.∴,∴点评:两种解法实质相同,其关键是对已知等式进行变形,使其“结构相同”,然后构造函数,利用函数的单调性,利用是同一方程求解.例5已知实数a,b满足,,则a+3b=.【答案】16【解析】令,则,代入可化为,即设,则,在上单增故只有一个零点所以,即,所以.例6已知实数满足,,则()A.112B.28C.7D.4【答案】,,即,设,则,且易知其为定义在(0,+∞)上的单增函数故,即,选B.例6已知实数满足,,则()A.0B.2C.4D.6【答案】B【解析】设,则,则,且,故为定义在R上的单增函数,且所以,即,选B.【巩固训练】1.已知、分别是方程、的根,则+的值是.2.已知实数x、y满足,则的值是.3.方程的根是.4.已知实数a,b(0,2),且满足,则a+b的值为_______.5.设方程的根为,方程的根为,则=.6.已知a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,那么a+b的值是.7.若满足2x+=5,满足2x+2(x-1)=5,+=()A.B.3C.D.4【答案或提示】1.【答案】-1【提示】设,则,单增.由,得代入得,即,得+=-1.2.【答案】2020【提示】两边取自然对数得设,则易得其为上的单增奇函数所以,故.3.【答案】【分析】利用“同构”构造函数,再利用函数的单调性.【解析】原方程可化为设,易得其为上的单增奇函数所以,即为所求.4.【答案】2【分析】将化为:,设,则在上递增,由,得a+b的值.【解析】由,化简为:,即,设,则在上递增,因为a,b(0,2),所以2-b(0,2),且,所以,即.5.【答案】46.【答案】2【解析】由题意知a3-3a2+5a-3=-2,b3-3b2+5b-3=2,设f(x)=x3-3x2+5x-3,则f(a)=-2,f(b)=2.因为f(x)图象的对称中心为(1,0),所以a+b=2.点评:本题的难点在于发现函数的对称性,对于三次函数f(x)y=ax3+bx2+cx+d其对称中心为(x0,f(x0)),其中f″(x0)=0.7.【答案】C
妙解高考数学填选压轴题专题16 运用同构求值-妙解高考数学填选压轴题
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