妙解高考数学填选压轴题专题26 有关三角形中的范围问题-妙解高考数学填选压轴题

专题26有关三角形中的范围问题【方法点拨】1.正弦平方差公式sin2－sin2＝sin(－sin(＋2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.【典型题示例】例1在锐角中，，则的取值范围为______________.【答案】【解析】∵，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故又为锐角三角形，∴，即，∴，∴，∵又，∴，令，则，由对勾函数性质知，在上单调递增，又，，∴.例2若的内角满足，则的最小值是．【答案】【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可【解析】 ∵sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋eq\r(2)b＝2c，即c＝eq\f(a＋\r(2)b,2)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))\s\up12(2),2ab)＝eq\f(3a2＋2b2－2\r(2)ab,8ab)≥eq\f(2\r(6)ab－2\r(2)ab,8ab)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，当且仅当3a2＝2b2即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))时等号成立.∴cosC的最小值为eq\f(\r(6)－\r(2),4).例3在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则的最小值为 ．【答案】【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：，如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，所以，，化简，得：，解得：x＝3y，，，＝＝＝＝.【解析二】（边化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化简得，以主元，化简得.例4在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为．【答案】【解析一】（余弦定理+二次函数）看到式子的结构特征，联想余弦定理得：所以当时，，的面积的最大值为．【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）设BC边上的中线为AM，则∵∴代人得：，即根据基本不等式得：又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高所以所以，，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时的面积的最大值为．【解法三】（隐圆）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，0))，C(x，y)，则由a2＋b2＋2c2＝8，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))2＋y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(c,2)))2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－eq\f(5,4)c2，所以点C在以原点(0,0)为圆心，eq\r(4－\f(5,4)c2)为半径的圆上，所以S≤eq\f(c,2)eq\r(4－\f(5,4)c2)＝eq\f(1,2\r(5))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(5,4)c2))＋\f(5,4)c2))≤eq\f(2\r(5),5).【巩固训练】1.（多选题）在中，角的对边分别为，若，则角可为（）A． B． C． D．2.在△ABC中，若，则cosB的最小值是.3.已知中，，则的最大值是 ()A． B． C． D．4.若的内角满足，则角的最大值是.5.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，当A，B则变化时，存在最大值，则正数的取值范围为______________.A.B.C.D.7.在ΔABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，b，c成等差数列，则3sinA+2sinC的最小值为________．8.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.9.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（）A． B．2 C．1 D．【答案或提示】1.【答案】BC【解析】∵，利用正弦定理可得：，由正弦平方差公式得，即，易知，故∴，即∵，∴，∴，故选：BC.2.【答案】【提示】已知可化为，弦化切得∴∴，，∴.3.【答案】A【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.4.【答案】【解析】由可得：，∵在递减，∴5.【答案】C【解析】由得：，即即，而，所以又为锐角三角形，∴，即，∴，∴6.【答案】A【解析】由，得：根据正弦定理得：，即又为锐角三角形，∴，即，∴，∴，（）∵∴欲使存在最大值，必有∴，故，即.7.【答案】23+1【解析】由题得2b=2a+c，∴cosB=a2+c2−b22ac=a2+c2−(22a+c2)22ac，所以cosB=12a2+34c2−22ac2ac≥212a2⋅34c2−22ac2ac=6−24，所以0