专题03函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=eq\f(1,f(x))(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.2.函数奇偶性、对称性间关系:(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;一般的,若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=eq\f(a+b,2)对称.(2)若函数y=f(x+a)是奇函数,即f(-x+a)+f(x+a)=0恒成立,则函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称;一般的,若对于R上的任意x都有f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.3.函数对称性、周期性间关系:若函数有多重对称性,则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍,为相邻对称中心距离的2倍,为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍.(注:如果遇到抽象函数给出类似性质,可以联想y=sinx,y=cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4.善于发现函数的对称性(中心对称、轴对称),有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1(2022·全国乙·理·T12)已知函数的定义域均为R,且,.若的图像关于直线对称,,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到,从而得到,,然后根据条件得到的值,再由题意得到从而得到的值即可求解.【解析】因为的图像关于直线对称,所以,因为,所以,即,因为,所以,代入得,即,所以,.因为,所以,即,所以.因为,所以,又因为,联立得,,所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,所以因为,所以.所以.故选:D例2(2022·新高考Ⅱ卷·T8)若函数的定义域为R,且,则()A. B. C.0 D.1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.【解析】因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.因为,,,,,所以一个周期内的.由于22除以6余4,所以.故选:A.例3(2021·新高考全国Ⅱ卷·8)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则()A. B. C. D.【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数,由已知条件得出,结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数为偶函数,则,可得,因为函数为奇函数,则,所以,,所以,,即,故函数是以为周期的周期函数,因为函数为奇函数,则,故,其它三个选项未知.故选:B.例4(2021·全国甲卷·理·12)设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件,可以确定出函数解析式,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案.【解析】因为是奇函数,所以①;因为是偶函数,所以②.令,由①得:,由②得:,因为,所以,令,由①得:,所以.思路一:从定义入手.所以.思路二:从周期性入手由两个对称性可知,函数的周期.所以.故选:D.例5已知函数f(x)对任意的x∈R,都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+x))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-x)),函数f(x+1)是奇函数,当-eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)时,f(x)=2x,则方程f(x)=-eq\f(1,2)在区间[-3,5]内的所有根之和为________.【答案】4【分析】由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+x))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-x))对任意的x∈R恒成立,得f(x)关于直线x=eq\f(1,2)对称,由函数f(x+1)是奇函数,f(x)关于点(1,0)中心对称,根据函数对称性、周期性间关系,知函数f(x)的周期为2,作出函数f(x)的图象即可.【解析】因为函数f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1),又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+x))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-x)),所以f(1-x)=f(x),所以f(x+1)=-f(x),即f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,且图象关于直线x=eq\f(1,2)对称.作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可得f(x)=-eq\f(1,2)在区间[-3,5]内有8个零点,且所有根之和为eq\f(1,2)×2×4=4.例6已知函数是上的奇函数,对任意,都有(2)成立,当,,,且时,都有,则下列结论正确的有 A.(1)(2)(3) B.直线是函数图象的一条对称轴 C.函数在,上有5个零点 D.函数在,上为减函数【分析】根据题意,利用特殊值法求出(2)的值,进而分析可得是函数的一条对称轴,函数是周期为4的周期函数和在区间,上为增函数,据此分析选项即可得答案.【解答】解:根据题意,函数是上的奇函数,则;对任意,都有(2)成立,当时,有(2),则有(2),则有,即是函数的一条对称轴;又由为奇函数,则,变形可得,则有,故函数是周期为4的周期函数,当,,,且时,都有,则函数在区间,上为增函数,又由是上的奇函数,则在区间,上为增函数;据此分析选项:对于,,则(1)(2)(3)(4)(1)(3)(2)(4),(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(2),正确;对于,是函数的一条对称轴,且函数是周期为4的周期函数,则是函数的一条对称轴,又由函数为奇函数,则直线是函数图象的一条对称轴,正确;对于,函数在,上有7个零点:分别为,,,0,2,4,6;错误;对于,在区间,上为增函数且其周期为4,函数在,上为增函数,又由为函数图象的一条对称轴,则函数在,上为减函数,正确;故选:.例7已知函数,,则关于x的方程的实数根之和为______;定义区间,,,长度均为,则解集全部区间长度之和为______.【答案】①8②3【分析】根据题意得以函数关于点对称,进而利用导数研究函数性质,作出简图,树形结合求解即可得关于x的方程的实数根之和;令整理得方程的实数根满足,再数形结合得解集为,最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为,所以函数关于点对称,由于,所以函数在上单调递减,由于时,,,,,,,,,,且时,.故作出函数简图如图:根据图像可知,函数与函数图像共有4个交点,且关于点对称,所以的实数根之和为;令,整理得,由图像知方程有三个实数解,不妨设为,所以由三次方程的韦达定理得,由函数图像得解集为所以全部区间长度之和为.故答案为:;.【巩固训练】1.已知函数关于对称,则的解集为_____.2.已知定义在上的函数满足,且的图象与的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.3.已知函数满足,且时,,则()A.0 B.1 C. D.4.已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)图象关于直线x=2对称C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2D.当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为-eq\f(1,2)5.已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则6.(多选题)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数7.若定义在R上的函数满足,是奇函数,现给出下列4个论断:①是周期为4的周期函数;②的图象关于点对称;③是偶函数;④的图象经过点;其中正确论断的个数是______________.8.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(2-x),且f(x)是偶函数,下列说法正确的是( )A.f(x)的图象关于点(1,1)对称B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x∈[0,1],都有eq\f(f(x2)-f(x1),x1-x2)<0,则f(x)在[-3,-2]上单调递增D.若f(x)在[1,2]上的解析式为f(x)=lnx+1,则f(x)在[2,3]上的解析式为f(x)=1-ln(x-2)9.(2022·江苏常州·模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=eq\f(x+1,x)与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i=1))(xi+yi)等于( )A.0 B.m C.2m D.4m10.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则A. B.0 C.2 D.5011.已知函数与函数的图象交于A,B,C,且|AB|=|BC|=,则实数k=.【答案与提示】1.【答案】【解析】∵函数关于对称,∴,则由,结合图象可得,求得.2.【答案】8【解析】,故,即的图象关于点对称,又函数满足,则函数的图象关于点对称,所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为,所以.4.【答案】ABC【解析】 由f(x+1)=f(x-3),得f(x)=f[(x-1)+1]=f[(x-1)-3]=f(x-4),所以函数f(x)的周期为4,A正确.由f(1+x)=f(3-x),得f(2+x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,B正确.当0≤x≤2时,函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上单调递减,在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2))上单调递增.所以当x=eq\f(1,2)时,函数f(x)在[0,2]上取得极小值-eq\f(1,4),且f(0)=0,f(2)=2.作出函数f(x)在[0,8]上的大致图象,如图.由图可知,当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为f(2)=2,C正确;当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=-eq\f(1,4),D错误.故选ABC.5.【答案】-8【提示】四个根分别关于直线,对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)6.【答案】ABC【解析】法一 由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知,函数f(x)的图象关于点(1,0),(2,0)对称,所以f(-x)+f(2+x)=0,f(-x)+f(4+x)=0,所以f(2+x)=f(4+x),即f(x)=f(2+x),所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,所以f(x),f(x+3),f(x+4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知,函数f(x)的图象关于点(1,0),(2,0)对称,所以f(x)的周期为2|2-1
妙解高考数学填选压轴题专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性-妙解高考数学填选压轴题
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