妙解高考数学填选压轴题专题38 与圆相关的张角问题-妙解高考数学填选压轴题

专题38与圆相关的张角问题【方法点拨】圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.【典型题示例】例1设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大.所以若圆上存在点，使得，则.由和可知过且与圆相切的一条直线为，切点，所以在直角三角形中，，从而.例2已知圆O：x2＋y2＝1，动圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))【解析】由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，于是2－1≤eq\r(a2＋a－42)≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋a－42)≤3，解得2－eq\f(\r(2),2)≤a≤2＋eq\f(\r(2),2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2))).例3已知圆C：．若直线l：上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可求得，求出圆心到直线的距离，只要这个距离不大于即可得．【解析】根据题意，圆C：的圆心为，半径，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，连接，若，则，又由，则，若直线l：上存在点P，满足，则有C到直线l的距离，解可得：，即m的取值范围为，故选：D．【巩固训练】1.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.2.已知圆，直线为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点A的横坐标的取值范围是.3.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是．4.已知圆与圆，圆上至少存在一点，使得圆上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是 . 5.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30，则a的取值范围为．6.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得eq\o(PA,\s\up7(―→))·eq\o(PB,\s\up7(―→))≤0，则线段EF长度的最大值是________．7.在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于两点，点在圆上运动．若恒为锐角，则实数的取值范围是．8.在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的点，点M是AB中点，若直线y=kx−5k上存在点P，使∠OPM=30O，则实数k的取值范围是．【答案与提示】1.【答案】【提示】由解得.2.【答案】[1,5]【提示】设，由解得.3.【答案】【提示】即，故只需4.【答案】【提示】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.5.【答案】[－eq\f(6,5)，0]【提示】【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q固定不动，则点P在圆O运动时，当PQ为圆O的切线时，∠OQP最大，故满足题意，需∠OQP≥30，再将角的范围转化为O、Q间的距离问题，即需OQ≤2.再固定P不动，易得只需OM≤3即可，利用两点间距离公式(a＋3)2＋(2a)2≤9，解得－eq\f(6,5)≤a≤0.6.【答案】eq\r(14)【解析】由eq\o(PA,\s\up7(―→))·eq\o(PB,\s\up7(―→))≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝eq\f(2,PC)≥sin45°＝eq\f(\r(2),2)，所以PC≤2eq\r(2).另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂直时，PCmin＝eq\f(3\r(2),2)，以C为圆心，CP＝2eq\r(2)为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝2eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\r(14).7.【答案】【错解】考虑若为直角,则动圆与以为直径的圆相外切，故两圆相离时，满足题意，所以，解之得：.【错因】当动圆在左侧时，此时，圆与已知直线相交，圆上存在点与两点连线构成的角为零角，需排除.还需动圆与直线相离.8.【答案】[－2,2]【提示】连结O、M，则OM=12BC=1，问题转化为“在圆O：x2＋y2＝1存在点M，使得直线y=kx−5k上存在点P，使∠OPM=30O”，故只需当PM为切线时，∠OPM≥30O，故只需OP≤2，即5k1+k2≤2，解得−2≤k≤2.点评：也可以用“动点转移法”求点M的轨迹方程是x2＋y2＝1.