妙解高考数学填选压轴题专题29 三角形三内角正切积等于正切和的应用-妙解高考数学填选压轴题

专题29三角形三内角正切积等于正切和的应用【方法点拨】斜三角形中，.【典型题示例】例1在锐角三角形中，，则的最小值是．【答案】8【解析】由，，可得（*），由三角形为锐角三角形，则，在（*）式两侧同时除以可得，又(#)，则，由可得，令，由为锐角可得，由(#)得，解得，，由则，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，，解得（或互换），此时均为锐角．例2△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若EQ\F(a,2cosA)＝EQ\F(b,3cosB)＝EQ\F(c,6cosC)，则cosAcosBcosC＝．【答案】【分析】由已知联想到正弦定理，得到三内角正切间的关系，求出正切值即可.【解析】由EQ\F(a,2cosA)＝EQ\F(b,3cosB)＝EQ\F(c,6cosC)及正弦定理得:代入解得，，所以，，故.【巩固训练】1.在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为．2.在△ABC中，已知sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值为．3.设，且，若，，则.4.在中，若，则的大小是（）A． B． C． D．【答案或提示】1.【答案】3【解析】依题意，因为，所以，所以，所以.2.【答案】196【解析】依题意cosAsinA＝13cosBcosC13sinBsinC，即cosAsinA＝13cos，即cosAsinA＝13cosA，所以tanA，又易得tanA＝tanBtanC，而tanA＋tanB＋tanCtanAtanBtanC，所以tanA＋tanB＋tanCtanA．3.【答案】【提示】①，②，又由立得：.4.【答案】D【解析】由正弦定理可知，，，，（R为三角形外接圆半径），因为，所以且A，B，C都为锐角，所以，所以整理可得，故，．