妙解高考数学填选压轴题专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-13 · U1 上传 · 7页 · 177.5 K

专题04具有关于某点对称函数的最值性质【方法点拨】1.若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上,可以使用图象变换,转化为奇函数在对称区间上的最值问题.一般的,若单调函数f(x)关于点(m,n)对称,且在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=2n.【典型题示例】例1设函数f(x)=eq\f((x+1)2+sinx,x2+1)的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.【答案】2【分析】本题解法较多,利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形,,设,显然为奇函数,由题意知其最大值、最小值一定存在,根据函数图象的对称性,最大值与最小值互为相反数,其和为0,所以,本题应填2.【解析】 显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=eq\f((x+1)2+sinx,x2+1)=1+eq\f(2x+sinx,x2+1),设g(x)=eq\f(2x+sinx,x2+1),则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2答案:2.点评:1.本题欲求最大值与最小值的和,上述解法没有运用常规的求最值的基本工具,如:求导、基本不等式、单调性、反解等,而是充分利用函数的性质——奇偶性,舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”,这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响,此类题目多为考生所畏惧.2.发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键,对于单调奇函数有下列性质:若单调奇函数f(x)满足f(a)+f(b)=0,则a+b=0.更一般的,若单调函数f(x)关于点(m,n)对称,且满足f(a)+f(b)=2n,则a+b=2m.例2已知函数在[0,2]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=.【答案】【解析】将函数配成关于的形式设则故为奇函数,其图象关于坐标原点对称又,所以其图象关于点(1,-1)对称所以在[0,2]上的最大值为M,最小值为m的和M+m=.例3已知,设函数,的最大值、最小值分别为,则的值为.【答案】4039【分析】研究函数的对称性,利用函数(其中是奇函数)在对称区间上的最大值、最小值的和为.【解析】设则所以的图象关于点对称所以的图象关于点对称故的值为4039..【巩固训练】1.已知函数f(x)=ln(eq\r(1+9x2)-3x)+1,则f(lg2)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))=( )A.-1 B.0 C.1 D.22.已知定义在上的函数,则在上的最大值与最小值之和等于()A. B. C. D.3.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为()A.0 B.1 C.2 D.34.已知函数,,则________.5.已知函数在区间的值域为,则的值为_______.6.已知函数,在区间上的最大值为最小值为,则_____.7.若关于的函数的最大值为最小值为,且,则实数的值为___________.【答案或提示】1.【答案】 D【解析】 令g(x)=ln(eq\r(1+9x2)-3x),x∈R,则g(-x)=ln(eq\r(1+9x2)+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(eq\r(1+9x2)-3x)+ln(eq\r(1+9x2)+3x)=ln(1+9x2-9x2)=ln1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lgeq\f(1,2)=-lg2,所以g(lg2)+geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))=0,所以f(lg2)+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))=g(lg2)+1+geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))+1=2.2.【解析】根据题意,设,,有,即函数为奇函数,其图象关于原点对称,则,则有,变形可得,所以,当时,函数的最大值与最小值之和等于.故选:C.3.【解析】,令,即,而是在R上的奇函数,设其最大值为,最小值为,由奇函数性质可得,所以,故选择C4.【答案】【解析】因为所以,故答案为:.5.【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.【解析】因为设,则为定义在上的单调递增函数所以在区间单增,且关于点(0,1)对称所以=2.6.【答案】2【解析】.令,且,为奇函数,设其最大值为,则其最小值为,∴函数的最大值为,最小值为,.故答案为:.7.【答案】2【解析】部分分式,由已知,函数为奇函数又函数最大值为最小值为,且,.

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