妙解高考数学填选压轴题专题04 具有关于某点对称的函数的最值性质-妙解高考数学填选压轴题

专题04具有关于某点对称的函数的最值性质【方法点拨】1.若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0.2.关于某一点中心对称的函数在对称区间上的最值的解决方法同上，可以使用图象变换，转化为奇函数在对称区间上的最值问题.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝2n.【典型题示例】例1设函数f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.【答案】2【分析】本题解法较多，利用函数的奇偶性应当最为简单.将函数解析式适当作如下变形，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2.【解析】 显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2答案：2.点评:1.本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧.2.发现函数隐藏的单调性、对称性是解决此类问题之关键，对于单调奇函数有下列性质：若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.更一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.例2已知函数在[0，2]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=．【答案】【解析】将函数配成关于的形式设则故为奇函数，其图象关于坐标原点对称又，所以其图象关于点（1，－1）对称所以在[0，2]上的最大值为M，最小值为m的和M+m=．例3已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为.【答案】4039【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.【解析】设则所以的图象关于点对称所以的图象关于点对称故的值为4039..【巩固训练】1.已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝( )A.－1 B.0 C.1 D.22．已知定义在上的函数，则在上的最大值与最小值之和等于（）A． B． C． D．3.已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34.已知函数，，则________．5.已知函数在区间的值域为，则的值为_______.6.已知函数,在区间上的最大值为最小值为，则_____.7.若关于的函数的最大值为最小值为，且，则实数的值为___________．【答案或提示】1.【答案】 D【解析】 令g(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lgeq\f(1,2)＝－lg2，所以g(lg2)＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝0，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝g(lg2)＋1＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＋1＝2.2．【解析】根据题意，设，，有，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，则，则有，变形可得，所以，当时，函数的最大值与最小值之和等于.故选：C．3.【解析】，令，即,而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C4.【答案】【解析】因为所以,故答案为：.5.【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数内隐藏的奇偶性、对称性.【解析】因为设，则为定义在上的单调递增函数所以在区间单增，且关于点（0,1）对称所以=2.6.【答案】2【解析】.令,且,为奇函数,设其最大值为,则其最小值为,∴函数的最大值为,最小值为,.故答案为:.7.【答案】2【解析】部分分式，由已知，函数为奇函数又函数最大值为最小值为，且，.