妙解高考数学填选压轴题专题13 一次绝对值函数-妙解高考数学填选压轴题

专题13一次绝对值函数【方法点拨】几个常见的含绝对值的一次函数的图象与性质:⑴的图象关于直线对称，且函数的最小值为；⑵的图象关于直线对称，且函数的最小值为；⑶的图象关于点对称，且函数的值域为．（）（）含绝对值的一次函数的求解策略:（1）根据绝对值的代数意义，利用“零点分域讨论法”去绝对值，化为分段函数；（2）有时也可根据绝对值的几何意义，转化为x轴上动点到一些定点距离的和.3.一般地，设a1≤a2≤a3≤…≤an(n∈N*)，f(x)=|x－a1|+|x－a2|+|x－a3|+…+|x－an|．若n为奇数，当x=时，f(x)取最小值；若n为偶数，则x∈时，f(x)取最小值．即中间值或中间区间上取最值.【典型题示例】例1(2022·浙江·9)已知，若对任意，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】将问题转换为，再结合画图求解．【解析】由题意有：对任意的，有恒成立．设，，由恒成立，即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：由图可知，，，或，，故选：D．例2若对于任意实数x和任意正实数a、b，不等式恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】或【分析】根据基本不等式易求得，故问题转化为对于任意实数x恒成立，即求m的取值范围，使函数的最小值为，可利用函数的图象或直接使用绝对值的几何意义求解.【解析】令则所以不等式恒成立，即恒成立对于多个一次绝对值函数求最值可以分解为：设，对于3个绝对值相加，取得最小值一定是三个绝对值零点的中间值，如上述函数，中间零点是，所以上述函数当取得最小值，所以，解得或.【巩固训练】1.设函数的图像关于直线对称，则的值为________.2.函数的最小值为__________.3.已知函数有最小值，则实常数的取值范围是.4.函数在上有最大值，则实数的取值范围是___5.设函数，且，则满足条件的所有整数的和是__________.6.已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=时，f(x)取得最小值．【答案或提示】1.【答案】3【提示】的图象关于直线对称，故，解得.2.【答案】【提示】利用绝对值的几何意义，知即x轴上动点到1,2,3，···，19距离之和，当时，此时.3.【答案】【提示】直接去绝对值.4.【答案】【提示】直接去绝对值.5.【答案】6【解析】易得是偶函数，故或则或又，所以也满足题意，故答案为6.6.【答案】【解析】f(x)=，f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为．x=，同时使第1项|x-1|与第5050项的和， 第2项与第5049项的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x为．