妙解高考数学填选压轴题专题10 以分段函数为背景的解不等式-妙解高考数学填选压轴题

专题10以分段函数为背景的解不等式【方法点拨】遇绝对值往往直接转化为分段函数解决.以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）.【典型题示例】例1(2021·全国乙卷·理23改编)已知函数．（1）当时，不等式的解集是;（2）若，则实数a的取值范围是．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.点评：解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.例2已知函数,则不等式的解集是．【答案】.【分析】在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出．【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为．【巩固训练】1.已知函数，则关于x的不等式的解集为．2.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是.5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．6.已知函数，则不等式的解集为__________.7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝EQ\F(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为．【答案或提示】1.【答案】【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当即时，，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故,所以不等式的解集为.2.【答案】 D【解析】 法一：分类讨论法①当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1时，f(x＋1)0))时，不等式组无解．③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2x≤0，))即－10，,2x>0，))即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．综上，不等式f(x＋1)0，))∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)