妙解高考数学填选压轴题专题05 与函数的对称性相关的零点问题-妙解高考数学填选压轴题

专题05与函数的对称性相关的零点问题【方法点拨】若单调奇函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝0，则a＋b＝0.一般的，若单调函数f(x)关于点(m，n)对称，且满足f(a)＋f(b)＝2n，则a＋b＝2m.对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.对称性的三个常用结论：(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称.(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称.(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称.【典型题示例】例1若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于_____________.【答案】【解析】设，则为奇函数，其图象关于坐标原点对称所以的图象关于点（1,0）对称，故其与x轴的交点也关于点（1,0）对称所以的所有零点的和等于.例2设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（）A．0B．7C．14D．21【答案】D【分析】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移,比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.【解析】∵是公差不为0的等差数列，且∴∴∴例3函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为 A．， B． C．， D．【答案】A【分析】分离函数，零点问题转化为两函数图象有唯一交点问题，再使用函数的对称性解决.【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数与函数只有唯一一个交点，（1），（1），函数与函数唯一交点为，又，且，，在上恒小于零，即在上为单调递减函数，又是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数与函数的大致图象如下图：要使函数与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），（1），（1），，解得，又，实数的范围为，．故选：．例4已知函数有唯一零点，则a=（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】如果利用导数研究的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程思想，函数的零点满足.设，显然是由函数向右平移一个单位而得到，易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，.设，显然关于直线对称，顶点为.若，则函数关于直线对称，且在上是减函数，在上是增函数，最大值为，.若的图象与的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以，不合题意；若，函数关于直线对称，且在上是增函数，在上是减函数，最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点，必有，得.【解析一】，令则易知是偶函数，所以图象关于直线对称，欲使有唯一零点，必有，即，所以.【解析二】 x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－eq\f(1,ex－1)＝eq\f(e2（x－1）－1,ex－1)，当g′(x)＝0时，x＝1，当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，作出－ag(x)与h(x)的大致图象如图所示.若－a>0，结合选项A，a＝－eq\f(1,2)时，函数h(x)和－ag(x)的图象没有交点，排除选项A；当－a<0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)的图象有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝eq\f(1,2)，故选C.例5已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为________.【答案】1【分析】利用隐藏的对称性，易得f(0)＝0，求得a＝1或a＝－3，再利用数形结合，将增解舍弃.【解析】通过对函数f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3的研究，可发现它是一个偶函数，那么它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0．将x＝0代入原方程中，可求得a＝1或a＝－3．这就意味着，当a＝1或a＝－3时，原方程必有一解0，但是否是唯一解，还需进一步验证．当a＝1时，原方程为x2＋2log2(x2＋2)－2＝0，即2log2(x2＋2)＝2－x2，该方程实数根的研究可能过函数y＝2log2t和函数y＝4－t的交点情况来进行，不难发现，此时是符合题意的；而当a＝－3时，原方程为x2－6log2(x2＋2)＋6＝0，即x2＋6＝6log2(x2＋2)．通过研究函数y＝4＋t和y＝6log2t可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去．点评：f(0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.【巩固训练】1.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx－ax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是.2.若函数的零点有且只有一个，则实数.3.若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．4.已知函数，，则函数零点的个数所有可能值构成的集合为．5.函数的图象与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A.2B.4C.6D.86.已知函数满足，若函数与图象的交点为则（）A.0B.mC.2mD.4m7.已知实数x、y满足，则的值是.8.圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_______.9.已知函数，函数有唯一零点，则实数的值为______.10.函数的所有零点之和为().A0B.2C.4 D.611.已知函数有唯一零点，则a=（）A4B.2C.－2D.－412.(2022·江苏常州·模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)等于( )A.0 B.m C.2m D.4m【答案与提示】1.【答案】（0，e）【提示】分离函数，问题即为x>0时，h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点，利用导数求出当a=e时，相切为临界值.2.【答案】【提示】同例4，利用f(x)=0，求得，而当时，不满足题意，应舍去.3.【答案】m=2【提示】发现f(x)是偶函数，故得到f(0)=0，立得m=2或m=－4，难点在于对m=－4的取舍问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当x＞0时，函数恒增或恒减即可.4.【答案】{0,1,2,4}【提示】见例3.5.【答案】B【提示】根据对称性易得答案.6.【答案】B【分析】该题设计抽象函数关于点成中心对称，函数由奇函数向上平移一个单位得到，也关于点成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点成中心对称，，考虑倒序相加法，可得，，故.7.【答案】2020【提示】两边取自然对数得设，则易得其为上的单增奇函数所以，故.8.【答案】【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(−3,2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可.【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为(−3,2)，其对称中心为(−3,2).在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3,2)对称，故可得其交点A和C，B和D都关于点M(−3,2)对称.故，所以.9.【答案】或10.【答案】A11.【答案】C【提示】函数关于直线x=2对称，故必有f(2)=0.12.【答案】B【解析】 ∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x).∴函数y＝f(x)与y＝eq\f(x＋1,x)的图象都关于点(0，1)对称，∴eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＝0，eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(m,2)×2＝m.