妙解高考数学填选压轴题专题07 指数函数型函数的单调性、对称性-妙解高考数学填选压轴题

专题07指数函数型函数的单调性、对称性【方法点拨】1.指数复合型函数的对称中心为.记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.2.函数的性质如下：（1）定义域是R；（2）值域是（－1,1）；（3）在（－∞，+∞）单增；（4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到、等.【典型例题】例1已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是.【答案】【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减令，则为R上的单调递减的奇函数由得即因为为奇函数，故所以又在R上单减，所以，解之得所以实数的取值范围是.例2已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为.【答案】4039【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.【解析】设则所以的图象关于点对称所以的图象关于点对称故的值为4039.例3已知函数（）是奇函数，设函数，,若，其中，试比较的大小.【答案】.【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可.【解析】易得，故，，下面考察函数的单调性.对于在单增，由复合函数单调性得在单减；对于，设（），在单减，由复合函数单调性得在单减，再由函数单调性得性质得，在单减，因为，，所以.【巩固练习】1.已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____.2.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是.3.已知，则的值为．4.已知函数在区间[－k,k]上的值域为[m,n]，则m＋n=________．5.已知函数是定义域为的奇函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案与提示】1.【答案】－1【提示】由立得.2.【答案】【提示】的对称中心是，其定义域为R且单增.3.【答案】【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求的值，易得.【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.4.【答案】2【提示】，奇，单增.5.【答案】.【解析】∵函数是定义域为的奇函数，∴，解得.经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.设且，则，∵，∴，，∴，即，所以是上的减函数.由，可得.∵是上的奇函数，∴，又是上的减函数，所以对恒成立，令，∵，∴，∴对恒成立，思路一：（转化为二次函数区间上的最大值≤0）令，，该函数开口朝上，故或取得最大值∴，解得，所以实数的取值范围为.思路二：（分离变量）即对恒成立，设，则在区间上单减，在区间上单增所以所以，故实数的取值范围为.