柯西中值定理在高中数学的应用--解析版

柯西中值定理在高中数学的应用微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.柯西中值定理及其证明柯西中值定理:f(b)-f(a)f′(ξ)若f(x)与g(x)在(a,b)上可导,且g(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使=.g(b)-g(a)g′(ξ)大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当g(x)=x的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.罗尔定理:设函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,而且在两端点处函数f(x)的值相等(f(a)=f(b)),那么在开区间(a,b)上至少有一点c,使得f(x)在这点的导数等于零f′(c)=0.证明:设M和m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值.由于f(x)在[a,b]上是连续的,∴f(x)的最大值和最小值是存在的.如果等式M=m=f(a)成立,那么对于一切x∈[a,b]都有f′(x)=0.如果M=f(a)和m=f(a)不能同时成立,那么M和m这两个数中间至少有一个不等于数f(a).为了确切起见,设M是这样的数.于是,在开区间(a,b)的某点c,函数f(x)达到闭区间[a,b]上的最大值,因而在这个点f(x)同时有局部极大值.因为在点c处的导数f′(c)存在且等于零.m≠f(a)的情况可以进行类似的讨论.下面证明柯西中值定理.证明:引人函数F(x)=[g(b)-g(a)]•f(x)-[f(b)-f(a)]g(x).这个函数在[a,b]上显然是连续的,而且在开区间(a,b)上有导数.此外,F(a)=F(b).因此根据罗尔定理可以找到这样的点c∈(a,b),使得,F′(c)=0,即[g(b)-g(a)]f′(c)=[f(b)-f(a)]⋅g′(c).(1)显然f′(c)≠0,否则的话,由于f(b)-f(a)≠0,就应该有g′(c)=0,但是根据已知条件f′(c)和g′(c)不同时等于零,因此,[f(b)-f(a)]f′(c)≠0,用它除等式(1)的右边,即得所证.柯西中值定理证明无参不等式πx2x1x11若0cosx-cosxe⋅12212x2x1x1【解析】证明：要证e-e>cosx1-cosx2e,1x2x1e-ex1t实际上只需证>e.设f(t)=e,g(t)=cost,则f(t),g(t)在x1,x2上,满足柯西中值定理条cosx1-cosx2件,x2x1cfx2-fx1f′(c)e-eeπ=,c∈x1,x2,=,0cosx-cosxe>cosx-cosxe.12sinc12121x注意:其中用到>1及e是单调增加函数来放缩.sinc柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理可以解决:已知在x∈(m,+∞)上,不等式f(x)0,具体要讨论).g(x)f(x)f(x)-0f(x)-f(m)f′(ξ)第二步:柯西中值定理转换.===解析】解：法一:分类讨论法1∵f′(x)=2ax-,x①当a≤0时,f′(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减.∴当x>1时,f(x)0时,f′(x)=,x11令f′(x)>0得x>.f′(x)<0得01,即00,即f(x)单调递增,2a21∴f(x)≥f(1)=0满足题意.综上,a≥.22法二:柯西中值定理法第一步:分类讨论,并参变分离.当x=1时不等式成立,当x∈(1,+∞)时,可参变分离,2lnx即f(x)=ax-1-lnx≥0参变分离≤a.x2-1第二步:分子和分母分别构造函数.2lnxh(x)-h(1)h(x)=lnx,g(x)=x-1.又h(1)=g(1)=0,得=≤a.x2-1g(x)-g(1)h(x)-h(1)h′(ξ)1第三步:利用柯西中值定理简化函数.==≤a,其中ξ∈(1,x).g(x)-g(1)g′(ξ)2ξ2111第四步:利用极限可得函数确界.由<,可得a≥.2ξ222223已知函数f(x)=xlnx-ax-1),a∈R,若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.【解析】解：22法一:由函数f(x)=xlnx-ax-1,1则f′(x)=2xlnx+(1-2a)x=x(2lnx+1-2a),其中x≥1.当a≤时,∵x≥1,∴f′(x)≥0.2∴函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(1)=0.1a-1a-1当a>时,令f′(x)=0得x=e2.若x∈1,e2,则f′(x)<0,2a-11∴函数f(x)在1,et时,f(x)≤f(1)=0,不符合题意.综上,a的取值范围是-∞,.2法二:柯西中值定理法第一步:分类讨论,并参变分离.当x=1时不等式成立,当x∈(1,+∞)时,可参变分离,222xlnx即f(x)=xlnx-ax-1≥0参变分离≥a.x2-1第二步:分子和分母分别构造函数.222xlnxh(x)-h(1)h(x)=xlnx,g(x)=x-1,又h(1)=g(1)=0,得=≥a.x2-1g(x)-g(1)h(x)-h(1)h′(ξ)1第三步:利用柯西中值定理简化函数.==lnξ+≥a,ξ∈1,xg(x)-g(1)g′(ξ)2111第四步:利用极限可得函数确界.由nξ+>,可得≥a.2224已知函数f(x)=ex-1-x-ax2,当x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.3【解析】解：第一步:分类讨论,并参变分离.当x=0时不等式成立,当x∈(0,+∞)时,可参变分离,xx2e-1-x即e-1-x-ax≥0参变分离≥a.x2第二步:分子和分母分别构造函数.xx2e-1-xh(x)-h(0)h(x)=e-1-x,g(x)=x.又h(0)=g(0)=0,得=≥a.x2g(x)-g(0)第三步:利用柯西中值定理简化函数.h(x)-h(0)h′(ξ)eξ-1==≥a,其中ξ∈(0,x).g(x)-g(0)g′(ξ)2ξh′(ξ)-h′(0)h′′(η)eη第四步:再次利用柯西中值定理简化函数.==≥a,其中η∈(0,ξ).g′(ξ)-g′(0)g′′(η)2第五步:利用极限可得函数确界.eηe0111由≥=,可得≥a,即a≤.x+1),若x≥1时,f(x)≥0恒成立,求λ的最大值.22222解f(x)=ex-ex-λ(xlnx-x+1),要使x≥1时,f(x)≥0恒成立.①当x=1时,不等式成立.g(x)ex-ex②当x∈(1,+∞)时,参变分离可得=≥λ[其中h(x)=h(x)xlnx-x+1xxlnx-x+1>0,g(x)=e-ex.g(x)g(x)-g(1)g′(ξ)eξ-e由柯西中值定理可得===≥λ,其中ξ∈(1,x).h(x)h(x)-h(1)h′(ξ)lnξg′(ξ)g′(ξ)-g′(1)g′′(η)再次利用柯西中值定理可得===ηeη≥λ,h′(ξ)h′(ξ)-h′(1)h′′(η)其中η∈(1,ξ).由ηeη≥e,可得λ≤e.4