拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展）（学生版）

拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义3能运用拉格朗日中值定理解题【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习知识讲解1.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导．fb-fa则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得fξ=．b-a2.拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线y=fx上至少存在一点P(ξ，f(ξ))，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．3.需要注意的地方(逆命题不成立)拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于3切线斜率,如fx=x在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0·1·4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式fb-fa=fξb-aa<ξb都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当0<θ<1时，a-1x1-x22设f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,当a<-1时,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),fx1-fx2≥4x1-x2成立,求a的取值范围sinx3设f(x)=,若对任意x≥0,都有f(x)≤ax,求a的范围2+cosx·3·4已知函数f(x)=ex+x-1，若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，求k的取值范围225设f(x)=x++alnx,f(x)的导函数是f(x),对任意两个不相等的正数x,x,x12当a≤4时,证明:fx1-fx2>x1-x2x-x6(2022秋·云南保山·高二校考阶段练习)设函数fx=e-e(1)求证：f(x)的导数fx≥2；(2)若对任意x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围．7(2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测)已知函数fx=ln1+x-x,gx=xlnx.(1)求函数fx的最大值；a+b(2)设00，求a的取值范围.12(2023·全国·高三专题练习)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0．求证：存在ξ∈f(ξ)0,1，使f(ξ)=-．ξ13(2023·全国·高三专题练习)验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上的正确性．·6·14(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ．15(2023·全国·高三专题练习)设fx=x-lnx，证明：对任意的实数m,n，当00).(Ⅰ)令F(x)=xf＇(x)，讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值；(Ⅱ)求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2alnx+1.17(2022·广东·统考一模)已知fx=lnx+ax+1a∈R，fx为fx的导函数.(1)若对任意x>0都有fx≤0，求a的取值范围；fx1-fx2(2)若0