利用均值不等式求圆锥曲线中的最值（解析版）

利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF1+PF2为定值，可求PF1PF2的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.x2y2【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：+=1a>b>0，F，F是椭圆Γ的a2b2123左、右焦点，点A1,在椭圆Γ上，点P4,0在椭圆Γ外，且PF=4-3．22(1)求椭圆Γ的方程；3(2)若B1,-，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与222直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别为S1，S2，求S1-S1S2+S2的最小值．313【解析】(1)因为点A1,在椭圆Γ上，所以+=1，①2a24b2222因为点P4,0在椭圆Γ外，且PF2=4-3，所以c=3，即a-b=c=3，②由①②解得a2=4，b2=1，x2故椭圆Γ的方程为+y2=1．4(2)设点Mx1,y1，Nx2,y2，设直线MN：x=my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t>2，2x2将直线MN代入方程+y2=1并化简可得，my+t+4y2-4=0，4即m2+4y2+2mty+t2-4=0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m2t2-4m2+4t2-4=0，即t2=m2+4．直线AP的方程为：x=4-23y；直线BP的方程为lBP：x=4+23y，x=my+t,4-tt-4联立方程得y=，同理得y=，x=4-23y,123+m223-m4-t-4343所以y-y==，12m2-12t+411所以S=ty-y，S=4-ty-y，1212221212t4-t212所以S2-SS+S2=t2y-y-y-y+(4-t)2y-y1122412412412122221482489t+8=y1-y2t-4t+t+16-8t+t=×23t-12t+16=36-，44t+4t2+8t+1648×819令9t+8=λλ>26，则S2-SS+S2=36-≥，112227λ+28+56λ20当且仅当λ=28，即t=时，不等式取等号，9209故当t=时，S2-SS+S2取得最小值．911227y2x23【例2】已知椭圆C：+=1a>b>0的离心率为，且过点1,2.a2b22(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l被圆x2+y2=a2截得的弦长为26，设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值.3ba2-c21【解析】(1)e=，==1-e2=，2aa241由椭圆过点1,2得+=1，解得a2=8，b2=2，a2b2y2x2∴椭圆C的方程为+=1.8222(2)直线l被圆x2+y2=8截得的弦长为26，则圆心到直线l的距离d满足6=22-d2，解得d=2，当l的斜率存在时，设l：y=kx+m，Ax1,y1，Bx2,y2，圆心为原点m则有d==2，∴m2=2k2+1.1+k2将l方程代入椭圆方程中整理得：k2+4x2+2mkx+m2-8=0，2mkm2-8∴x+x=-，xx=，12k2+412k2+4222242k+8-m46⋅k+1AB=k2+1⋅x+x-4xx=k2+1⋅=，1212k2+4k2+4113∴S=ABd=43×≤2k2+1=k=±2△OAB，当且仅当2，即时取等号.2k2+1+3k+1k2+1当l的斜率不存在时，则l：x=±2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴△OAB面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C过定点A(0，p)(p>0)，圆心C在抛物线x2=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=θ.(1)当点C运动时，|MN|是否变化？试证明你的结论；mn(2)求+的最大值.nm22222x0x02x0【解析】(1)设Cx,，则AC=x2+-p，故圆C的方程x-x+y-=x2+02p02p02p02244x02x0x02-p，令y=0有x-x+=x2+-x2+p2，故x-x=p2，解得x=x+p，x=x-2p04p204p2001020p，故MN=x1-x2=2p不变化，为定值22mn(2)由(1)不妨设Mx-p,0,Nx+p,0，故m=x-p+p2，n=x+p+p2，故+=0000nm222222222222m+nx0-p+p+x0+p+p2x0+4p2x0+2p4x0p====21+=mn2222222224444x0-p+px0+p+px0+2p-4px0x0+4px0+4p4p24p24p4mn21+≤21+=22，当且仅当x2=，即x=±2p时取等号.故+44020nm24p24px0x0+22x0⋅2x0x0的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.x2y2【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左，右焦点分别为a2b2F1(-3,0),F2(3,0)且经过点P(3,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，2可知2a=PF1+PF2=(23)+4+2=4+2=6解得a=3，又b2=a2-(3)2=6.x2y2∴椭圆C的标准方程为+=1.96(2)设直线l的方程为y=x+m，联立椭圆方程，得5x2+6mx+3m2-18=0，△=36m2-60m2+360>0，得-150.12t2+412t2+41t2+4-m2m2m2则S=m⋅y-y=2m=21-，△OAB212t2+4t2+4t2+4m2因为t2+4-m2>0，故0<<1，t2+4m2m2m2m2所以21-≤+1-=1t2+4t2+4t2+4t2+4m21当且仅当=时取等号，此时Δ=16m2>0，符合题意.t2+42所以S△OAB≤1，即△OAB面积的最大值为1.2当t不存在时，设l:y=hh≠0，则S=21-h2⋅h≤1，当h=时取等号.△OAB2综上，△OAB面积的最大值为1当△OAB面积最大时：若t存在，则此时t2=2m2-4≥0⇒m2≥2，2224t+4-m3则AB=1+t⋅=22-∈2,22，t2+4m2若t不存在，则此时AB=41-h2=22.综上，AB∈2,22.．(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2．(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值．pp【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,0，准线方程为x=-，22pp由题意，该抛物线焦点到准线的距离为--=p=2，22所以该抛物线的方程为y2=4x；(2)设Qx0,y0，则PQ=9QF=9-9x0,-9y0，所以P10x0-9,10y0，2225y0+9由P在抛物线上可得10y=410x-9，即x=，0001029据此整理可得点Q的轨迹方程为y2=x-，525y0y010y0所以直线OQ的斜率kOQ==2=2，x025y0+925y0+910当y0=0时，kOQ=0；10当y≠0时，k=，0OQ925y0+y099当y0>0时，因为25y0+≥225y0⋅=30，y0y0193此时0利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.x2y2【例7】设椭圆+=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且54与C分别切于A、B两点，求PA⋅PB的最小值．【解析】设椭圆的两切线为l1，l2．①当l1⊥x轴或l1⎳x轴时，对应l2⎳x轴或l2⊥x轴，可知切点为；②当l1与x轴不垂直且不平行时，x≠±5，设l1的斜率为k，则k≠0，1l的斜率为-，并设l,l的交点为x,y，2k1200x2y2则l的方程为y-y=kx-x，联立+=1，10054222得：5k+4x+10y0-kx0kx+5y0-k0x0-20=0，2222∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得5y0-kx0k-5k+4y0-kx0-4=0，222∴x0-5k-2x0y0k+y0-4=0，222∴k是方程x0-5k-2x0y0k+y0-4=0的一个根，1同理-是方程x2-5k2-2xyk+y2-4=0的另一个根，k000021y0-4∴k⋅-=x2+y2=9x≠±52得00，其中，kx0-5∴交点的轨迹方程为：x2+y2=9x≠±5