高考数学微专题11 导数解答题之极最值问题（解析版）

微专题11导数解答题之极最值问题秒杀总结1.利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．例1．（新疆克拉玛依市2019届高三三模数学（理）试题）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)当时，记的最小值为，求证：．【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）函数定义域是，求得导函数，这里是正数，引入，利用它的单调性，得其有唯一零点，是的唯一极小值点，即，由把转化为关于的函数，再由导数得新函数的最大值不大于1，证得结论成立．(1)当时，，的定义域是，，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)由（1）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，因为，所以，，故存在，使得．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故时，取得最小值，即，由，得，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即时，取最大值1，．例2．（河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试数学（理）试卷）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的极值点的个数.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）分别求出和，即可求出切线方程；（2）分、和三种情况，分别讨论单调性，即可得到对应的极值点的情况.(1)当时，定义域为，.因为，所以.所以在点处的切线方程为：.(2)函数定义域为，.令，.令，得；令，得；所以在上单增，在上单减.所以，所以①当时，，令，得；令，得；所以在上单增，在上单减.此时有且只有一个极值点.②当时，，令，得；令，得；所以在上单减，在上单增.此时有且只有一个极值点.③当时，方程有两个相异正根，不妨设，则当时，有；当时，有；当时，有；；当时，有；；所以在上单减，在上单增，在上单减，在上单增，此时有三个极值点.综上所述：当或时，有且只有一个极值点；当时，有三个极值点.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.例3．（河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题）已知函数.(1)当时，证明：函数在区间上单调递增；(2)若，讨论函数的极值点的个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，再二次求导，可求得导函数在区间上单调递增，从而可得，进而可证得结论，（2）当时，可得单调递增，无极值点，当时，，令，令，利用导数求出的单调区间和极值，从而分，和求解即可(1)证明：当时，.当时，，.所以函数在区间上单调递增，故，故函数在区间上单调递增.(2)解：当时，单调递增，无极值点，当时，，令，令，则，当时，，且，当时，方程有唯一小于零的零点，故函数存在一个极值点；当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，为函数极小值，所以当时，方程无解，函数无极值点；当时，方程有一个解，但当时，，当时，，故函数无极值点.当时，方程有两解，函数存在一个极大值点和一个极小值点.综上，当时，函数存在一个极值点，当时，函数无极值点，当时，函数存在一个极大值点和一个极小值点.过关测试1．（江苏省泰州市泰兴中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知函数．(1)当时，判断在区间上的单调性；(2)当时，记的最大值为，求证：．【答案】(1)在上单调递减．(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；（2）由题知，设，进而得在存在唯一零点且的最大值，再结合可得.(1)当时，，设，则，当时，在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减．(2)，设，则．当时，的定义域为在上单调递减，因为所以．又因为的图象是不间断的，且在上单调递减，所以在存在唯一零点，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以的最大值由得，所以，从而原命题得证．2．（北京市海淀区2022届高三上学期期末练习数学试题）函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数在上的最小值；(3)直接写出的一个值，使恒成立，并证明.【答案】(1)(2)(3)，证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值；（3）取，构造函数，即证恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论.(1)由，知，切点为求导，则切线斜率所以切线方程为：，即(2)求导，，，，所以函数在上单调递增，，即函数在上的最小值为.(3)取，下面证明恒成立，即证恒成立，令，即证恒成立求导，（i）当时，，，此时所以函数在上单调递减，，即成立（ii）当时，令，，因为，，所以，所以函数在上单调递增，，所以函数在上单调递增，，综上可知，恒成立，即恒成立3．（年四川省泸州市2021-2022学高三第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题）已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数的导函数的单调性；(2)设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】【分析】（1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解.(1)解：，令，则，①当时，，②当时，时，，时，；综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数；(2)解：，则，，令，则，令，则，当时，，，故，是减函数，所以.①当，即时，，即在上是减函数，不符合是极小值，舍去；②当，即时，因为是减函数，且，，所以，使得，当时，，即是增函数，所以，即在上是增函数；当时，，使得，是减函数，故，从而是增函数，所以，即在上是减函数.综上，的取值范围是.4．（云南省昆明市2022届高三“三诊一模”市统测数学（文）试题）已知函数，．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)设的极小值点为，且，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；（2）对的值进行分类讨论，利用导数得出其单调性，再根据题意解不等式得出的取值范围．(1)由可得，，由可得，即曲线在点处的切线方程为(2)若时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，极小值点为由，可得，解得.若时，当时，，则函数在上单调递增；当时，，则函数在上单调递减，则极小值点为.由可得，，此时不等式组无解.若时，，函数无极值点.若时，当时，，即函数在上单调递增.当时，，即函数在上单调递减，即函数的极小值点为，由，可得，解得.综上，5．（重庆市主城区2022届高三上学期一诊学业质量调研抽测数学试题）已知函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)．【解析】【分析】（1）示出导函数，在定义域内分类讨论确定的正负，得单调区间；（2）由有两个不等实根得出的一个范围，同时得出的关系，计算化为的函数，不等式变形后，引入函数，由导数确定单调性后可得不等式的解，即得的范围．(1)的定义域是，，时，时，，时，，的减区间，增区间是；时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是；时，恒成立，的增区间是，无减区间；时，或时，，时，，的增区间是和，减区间是；(2)，由题意有两个不等正根，，，又，，所以，，，由题意，，设，则，在上递减，又，所以由，得．综上，．【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查极值点有关的问题，解题方法由导函数为0得出极值点的性质，同时得出参数的一个范围，计算有关极值点的代数式，化简不等式，利用函数的单调性得出不等式的解，从而得出结论，本题属于较难题．6．（第13讲双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，，证明：【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）函数求导后，分子为含参的二次三项式，结合，我们可以从和结合开口方向和两根的大小来讨论；（2），为函数的两个极值点，我们可以通过结合韦达定理，找到，的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明.(1)，设．，，①当时，，，则，在上单调递增，②当时，，的零点为，，且，令，得，或，令，得，在，上单调递减，在，，单调递增，③当时，，的零点为，在上单调递增，在，上单调递减．综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在，，单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减．(2)证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，不妨设，则，要证：，只要证，只需要证，即证，设，，设函数，，，，，在上单调递减，则，又，则，则，从而．【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；(2)如果函数在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数的极值点关系，可以使用韦达定理来表示.7．（陕西省安康市2021-2022学年高三上学期期末文科数学试题）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，且这两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求导，然后分，，，讨论研究单调性；（2）由（1）两个极值点分别是1和，不妨设，，代入，然后转化为最值问题求解即可.(1)由题意可知的定义域为，.当时，由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增.当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.当时，恒成立，则在上单调递增.当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.(2)由（1）可知或，且两个极值点分别是1和，不妨设，，则，，故恒成立，即恒成立.当时，，则，因为，所以，则；当时，，则，因为，所以，则.综上，.