高考数学微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究(原卷版)

2023-11-08 · U1 上传 · 11页 · 1.1 M

专题20圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题通性通法研究秒杀总结1.三角形面积问题模型一:基本方法模型二:分割三角形模型三:三角形面积坐标表示模型四(面积比):“等角”“共角”“对顶角”蝴蝶模型蝉模型2.四边形面积问题模型一模型二模型三3.圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.4.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.典型例题例1.(2022·宁夏银川·一模(文))如图,已知椭圆,曲线与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于、,直线、分别与交于点、.(1)证明:以为直径的圆经过点;(2)记、的面积分别为、,若,求的取值范围.例2.(2022·山东临沂·一模)已知椭圆C:(,)的左、右焦点分别为,,离心率为,直线被C截得的线段长为.(1)求C的方程:(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点,且,求四边形面积的最大值及此时的值.例3.(2022·浙江·模拟预测)如图,已知椭圆和抛物线,斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点,且线段的中点在抛物线上.(1)求点的纵坐标的取值范围;(2)设是抛物线上一点,且位于椭圆的左上方,求点的横坐标的取值范围,使得的面积存在最大值.例4.(2022·浙江·模拟预测)如图,点A,B是椭圆与曲线的两个交点,其中点A与C关于原点对称,过点A作曲线的切线与x轴交于点D.记△ABC与△ABD的面积分别是,.(1)证明:;(2)若,求的最大值.例5.(2022·河南·一模(理))已知点F为椭圆的右焦点,椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若M为椭圆C上的点,以M为圆心,长为半径作圆M,若过点可作圆M的两条切线(为切点),求四边形面积的最大值.例6.(2022·天津·南开中学二模)已知椭圆的左右焦点分别是和,离心率为,点P在椭圆E上,且的面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过椭圆C右焦点,交该椭圆于A、B两点,AB中点为Q,射线OQ交椭圆于P,记的面积为,的面积为,若,求直线l的方程.过关测试1.(2022·宁夏·银川二中一模(理))已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若四边形的顶点在椭圆上,且对角线过原点,直线和的斜率之积为,证明:四边形的面积为定值.2.(2022·全国·模拟预测)已知抛物线,点,过点M的直线与抛物线C交于点,,且.过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为N.(1)证明:点N的纵坐标为定值;(2)若点N的横坐标为1,点D为抛物线C夹在点A,B之间部分上的任意一点(不与点A,B重合),过点D作抛物线的切线与直线NA、直线NB分别交于P,Q两点,求△NPQ面积的最大值,并求出△NPQ的面积取最大值时点D的坐标.3.(2022·全国·模拟预测(理))在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点为,,直线与椭圆交于,两点.已知周长的最大值为,且当,时,.(1)求椭圆的标准方程;(2)设的面积为,若,求的取值范围.4.(2022·四川宜宾·二模(文))已知椭圆的左右焦点分别为,,为的上顶点,且.(1)求的方程;(2)过坐标原点作两直线,分别交于,和,两点,直线,的斜率分别为,.是否存在常数,使时,四边形的面积为定值?如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由.5.(2022·河南郑州·二模(文))已知椭圆:()过点,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆上的点()的直线与,轴的交点分别为,,且,过原点的直线与平行,且与交于,两点,求面积的最大值.6.(2022·四川雅安·二模)已知椭圆:()的离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上第一象限内的点,直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点.①求直线的方程(用,)表示;②设为坐标原点,直线分别与轴,轴相交于点,,试探究的面积是否存在最小值.若存在,求出最小值及相应的点的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2022·重庆市天星桥中学一模)已知为坐标原点,点在椭圆上,椭圆的左右焦点分别为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点在椭圆上,原点为的重心,证明:的面积为定值.8.(2022·新疆·一模(理))在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,过椭圆C的焦点F作长轴的垂线,交椭圆于点P,且.(1)求椭圆C的方程;(2)假设直线与椭圆C交于A,B两点.若原点O到直线l的距离为1,并且,当时,求的面积S的取值范围.9.(2022·湖南常德·一模)已知两点分别在轴和轴上运动,且,若动点满足,设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点作直线的垂线,交曲线于点(异于点),求面积的最大值.10.(2022·重庆市育才中学模拟预测)已知双曲线:过点,且的渐近线方程为.(1)求的方程;(2)如图,过原点O作互相垂直的直线,分别交双曲线于A,B两点和C,D两点,A,D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答,如果多选,则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD面积的取值范围;②设直线AD与两渐近线分别交于M,N两点,是否存在直线AD使M,N为线段AD的三等分点,若存在,求出直线AD的方程;若不存在,请说明理由.11.(2022·新疆乌鲁木齐·二模(理))已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且.(1)求抛物线的方程;(2)设是抛物线上异于原点的一点,过点作圆的两条切线与抛物线分别交于异于点的,两点,若切线互相垂直,求的面积.12.(2022·江苏·南京市宁海中学二模)已知椭圆:的右焦点与右准线:的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线:与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与直线及轴和轴分别相交于点,,,直线与右准线相交于点.记,的面积分别为,,求的值.13.(2022·四川南充·二模(文))如图所示,椭圆的右顶点为,上顶点为为坐标原点,.椭圆离心率为,过椭圆左焦点作不与轴重合的直线,与椭圆相交于两点.直线的方程为:,过点作垂线,垂足为.(1)求椭圆的标准方程;(2)①求证:直线过定点,并求定点的坐标;②求面积的最大值.14.(2022·江西·临川一中模拟预测(文))已知椭圆的左右焦点分别为,,其离心率,过左焦点的直线l与椭圆交于A,B两点,且的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E,F两点(点E在第一象限),过点E作x轴的垂线,垂足为点G,设直线与椭圆的另一个交点为H,连接得到直线,交x轴于点M,交y轴于点N,记、的面积分别为,,求的最小值.15.(2022·河南·三模(文))椭圆,A,B为其左右顶点,G点坐标为,c为椭圆的半焦距,且有,椭圆E的离心率.(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知O为坐标原点,M,N为椭圆上不重合两点,且M,N的中点H在直线上,求面积的最大值.16.(2022·河南省直辖县级单位·二模(文))如图,圆与抛物线相交于点、、、,且.(1)若抛物线的焦点为,为其准线上一点,是坐标原点,,求抛物线的方程;(2)设与相交于点,与组成蝶形(如图所示的阴影区域)的面积为,求点的坐标及的最大值.17.(2022·陕西宝鸡·二模(文))已知曲线上任一点到点的距离等于该点到直线的距离.经过点的直线与曲线交于、两点.(1)求曲线的方程;(2)若曲线在点、处的切线交于点,求面积的最小值.18.(2022·新疆·一模(理))圆心为的圆与抛物线相交于A,B,C,D四个点.(1)求圆的半径r的取值范围;(2)当四边形ABCD面积最大时,求对角线AC与BD的交点P的坐标.19.(2022·福建·莆田二中模拟预测)如图,已知椭圆内切于矩形ABCD,对角线AC,BD的斜率之积为,过右焦点的弦交椭圆于M,N两点,直线NO交椭圆于另一点P.(1)求椭圆的标准方程;(2)若,且,求面积的最大值.

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