高考数学微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究（原卷版）

微专题20圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究秒杀总结1.三角形面积问题模型一：基本方法模型二：分割三角形模型三：三角形面积坐标表示模型四（面积比）：“等角”“共角”“对顶角”蝴蝶模型蝉模型2.四边形面积问题模型一模型二模型三3.圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.4.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．典型例题例1．（2022·宁夏银川·一模（文））如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.(1)证明：以为直径的圆经过点；(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.例2．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆C：(，)的左、右焦点分别为，，离心率为，直线被C截得的线段长为.(1)求C的方程：(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时的值.例3．（2022·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．例4．（2022·浙江·模拟预测）如图，点A，B是椭圆与曲线的两个交点，其中点A与C关于原点对称，过点A作曲线的切线与x轴交于点D．记△ABC与△ABD的面积分别是，．(1)证明：；(2)若，求的最大值．例5．（2022·河南·一模（理））已知点F为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M为椭圆C上的点，以M为圆心，长为半径作圆M，若过点可作圆M的两条切线(为切点)，求四边形面积的最大值.例6．（2022·天津·南开中学二模）已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，点P在椭圆E上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C右焦点，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记的面积为，的面积为，若，求直线l的方程.过关测试1．（2022·宁夏·银川二中一模（理））已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.2．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线，点，过点M的直线与抛物线C交于点，，且.过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为N.(1)证明：点N的纵坐标为定值；(2)若点N的横坐标为1，点D为抛物线C夹在点A，B之间部分上的任意一点（不与点A，B重合），过点D作抛物线的切线与直线NA､直线NB分别交于P，Q两点，求△NPQ面积的最大值，并求出△NPQ的面积取最大值时点D的坐标.3．（2022·全国·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，直线与椭圆交于，两点．已知周长的最大值为，且当，时，．(1)求椭圆的标准方程；(2)设的面积为，若，求的取值范围．4．（2022·四川宜宾·二模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，，为的上顶点，且.(1)求的方程；(2)过坐标原点作两直线，分别交于，和，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.5．（2022·河南郑州·二模（文））已知椭圆：（）过点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆上的点（）的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值.6．（2022·四川雅安·二模）已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上第一象限内的点，直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点．①求直线的方程（用，）表示；②设为坐标原点，直线分别与轴，轴相交于点，，试探究的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.8．（2022·新疆·一模（理））在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P，且．(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线与椭圆C交于A，B两点．若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求的面积S的取值范围．9．（2022·湖南常德·一模）已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线的垂线，交曲线于点（异于点），求面积的最大值.10．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知双曲线：过点，且的渐近线方程为.(1)求的方程；(2)如图，过原点O作互相垂直的直线，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD面积的取值范围；②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.11．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上异于原点的一点，过点作圆的两条切线与抛物线分别交于异于点的，两点，若切线互相垂直，求的面积．12．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知椭圆：的右焦点与右准线：的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线：与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与直线及轴和轴分别相交于点，，，直线与右准线相交于点．记，的面积分别为，，求的值．13．（2022·四川南充·二模（文））如图所示，椭圆的右顶点为，上顶点为为坐标原点，.椭圆离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线，与椭圆相交于两点.直线的方程为：，过点作垂线，垂足为.(1)求椭圆的标准方程；(2)①求证：直线过定点，并求定点的坐标；②求面积的最大值.14．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率，过左焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，且的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，设直线与椭圆的另一个交点为H，连接得到直线，交x轴于点M，交y轴于点N，记、的面积分别为，，求的最小值.15．（2022·河南·三模（文））椭圆，A，B为其左右顶点，G点坐标为，c为椭圆的半焦距，且有，椭圆E的离心率.(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H在直线上，求面积的最大值.16．（2022·河南省直辖县级单位·二模（文））如图，圆与抛物线相交于点、、、，且．(1)若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，，求抛物线的方程；(2)设与相交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值．17．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知曲线上任一点到点的距离等于该点到直线的距离．经过点的直线与曲线交于、两点．(1)求曲线的方程；(2)若曲线在点、处的切线交于点，求面积的最小值．18．（2022·新疆·一模（理））圆心为的圆与抛物线相交于A，B，C，D四个点．(1)求圆的半径r的取值范围；(2)当四边形ABCD面积最大时，求对角线AC与BD的交点P的坐标．19．（2022·福建·莆田二中模拟预测）如图，已知椭圆内切于矩形ABCD，对角线AC，BD的斜率之积为，过右焦点的弦交椭圆于M，N两点，直线NO交椭圆于另一点P．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，且，求面积的最大值．