高考数学微专题09 导数解答题之恒成立问题（解析版）

微专题09导数解答题之恒成立问题秒杀总结1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.例1．（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（理）试题）已知函数．(1)求在x＝0处的切线方程；(2)当时，恒成立，求a取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)构造函数m(x)＝f(x)－g(x)，研究函数m(x)单调性求其最小值即可.(1)，则，故切线方程为，化简得；(2)由得，令，即，令，则，令，则，∵，∴，∴，∴在[0，＋∞)上单调递增，且，当，即时，，在[0，＋∞)上单调递增，，∴m(x)在[0，＋∞)上单调递增，，符合题意；当即时，，，而在[0，＋∞)上单调递增，∴，使得，∴当时，，单调递减，，∴m(x)在单调递减，∴此时，不满足，∴a的取值范围是．【点睛】本题考察的是构造新函数，利用导数研究新函数的单调性求其最小值，关键在于需多次求导，依次判断单调性和函数值正负.例2．（苏教版（2019）选修第一册突围者第5章第三节课时3最大值与最小值）已知函数，．（1）证明：当时，；（2）若，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由题意分类讨论当、、三种情况即可证得题中的结论；（2）构造函数，分析可知，可得出，求出实数的值，然后验证当时，对任意的即可.【详解】（1）因为，则，.①当时，，；②当时，，，，则，所以，函数在上单调递减，故；③当时，构造函数，，则，对任意的恒成立，所以，函数、在上均为增函数，对任意的，，即，，即，所以，当时，，当且仅当时，等号成立.综上所述，对任意的，；（2）因为，所以，即．不妨设，原条件即．可得．因为且，所以时，取得最小值，由于函数为可导函数，则为函数的极小值点，故.所以，解得，下面来检验当时，是函数的最小值点，①当时，；②当时，，，函数在上单调递增，且，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，此时，，合乎题意.综上所述，.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.例3．（安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月最后一卷文科数学试题）已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，再分析单调性，根据单调性求最大值即可；（2）构造函数，然后分类讨论，研究其单调性，并通过分析端点处的值获得满足题意的的取值范围.【详解】（1），则由，可知在上为正，在上为负在上为增函数，在上为减函数，当时，.（2）对恒成立，即对恒成立.设，，，，，.，又，.（i）即时，，在上递减，，舍.（ii）即时，①当，即时，，使得.且，，在内递减，，矛盾，舍；②当，即时，，使得，且，，，，在上递增，在上递减，又，，所以成立.③，即，，在上递增，则.满足题意.综上，.【点睛】关键点睛：解决本题的第（1）问的关键是分析函数的单调性，解决第（2）问的关键是要分类讨论并通过比较端点处的值来确定分类的标准.例4．（江苏省百校联考2021届高三下学期4月第三次考试数学试题）设.（1）证明：；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可．【详解】（1）由题意可设，有，所以在（0，1）单减，所以，即，设，，，则有，单调递增，得，所以得证；（2）由（1）可知时，成立，则当时，设，则，，单调递增，则，①若，，单调递减，则有，此时不符合题意；②若，，，所以有唯一零点，可记为，则，，此时单调递减，有，则不符合题意；综上可知，即的取值范围为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．过关测试1．（山西省太原市2022届高三上学期期末数学（理）试题）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是(2)【解析】【分析】（1）导数后解不等式即可求解；（2）将问题转化为在恒成立，再分别研究与的最值,再比较即可.(1)，令，则；令，则.是的单调递增区间；是的单调递减区间.(2)在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，在上单调递增且，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，即，令，令，在单调递减，因为，当时，；当时，.在单调递增，在单调递减，，要使在恒成立，则，只需考虑，因为，则，当时，，，所以，，故.2．（安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测理科数学试题）已知函数.(1)当时，求在上的极值点的个数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)存在唯一的极值点(2)【解析】【分析】（1）将问题转化为导函数在定义域内的零点个数问题，根据导函数的单调性，结合零点存在性定理可解；（2）参变分离，将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数讨论可得.(1)当，令，易知在上单调递增，，所以在有唯一零点，即在有唯一零点，所以当时，，时所以在上存在唯一的极值点；(2)由条件整理得：对恒成立，令，令在上有唯一零点，且，所以当时，，时，，得，令，易知在单增，故，得，.【点睛】本题第二问属于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.3．（河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考文科数学试题）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：，.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）把证明转化为证明，令，求得，再令，利用导数求得在上为增函数，结合零点存在性定理得到存在唯一的使得，进而得到函数的单调性与最值，即可求解.(1)解：由题意，函数，可得，若，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.若，由得或.①当时，可得，所以在上单调递增.②当时，可得，故当，时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.③当时，则，故当，时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)解：当时，欲证成立，只需证，令，则（其中），令，则，所以在上为增函数，因为，，所以由零点存在性定理得，存在唯一的使得，即，即，所以由得，故时，，时，，所以，故成立，即.【点睛】对于利用导数证明不等式证明问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．4．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）已知函数，，其中.（1）证明：当时，；当时，；（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）对求导，得到，对x分讨论即可获得证明；（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，易得单增，分与两种情况讨论，结合的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a.【详解】（1），,当时，，，则；当时，，，则，当时，．所以当时，，在上是增函数，又，所以当时，；当时，．（2）函数的定义域为，由（1）得，当时，，又，所以当时，恒成立．由于当时，恒成立，故等价于：当时，恒成立．，．当时，，，故；当时，，，故．从而当时，，单调递增．①若，即，则当时，，单调递减，故当时，，不符合题意；②若，即，取，则，且，故存在唯一，满足，当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则当时，单调递增，，不符合题意；若，则，符合题意，此时由得；若，则当时，单调递减，，不符合题意．综上可知：存在唯一实数满足题意．【关键点晴】本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将恒成立转化为在时恒成立，在对研究时，关键点是，再结合的单调性及零点存在性定理讨论得到a，有一定难度，特别是书写的规范性.5．（山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【解析】【分析】（1）求出导函数，利用的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可.（2）不等式等价于在上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解的范围即可.(1)解：（1）因为的定义域为，且.①若，则，所以在上单调递增.②若，令，得.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.(2)（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，令，则.对于函数，，所以其必有两个零点.又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点，则，即.此时在上单调递增，在上单调递减，故，即.设函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.又，所以.由在上单调递增，得.故的取值范围为.6．（天津市西青区杨柳青第一中学2021-2022学年高三上学期第二次阶段检测数学试题）已知函数f（x）=eaxsinx(1)若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围(2)设a≥1，若，恒有f（x）≤bx成立，求b-e2a的最小值【答案】(1)[-1，+∞）(2)【解析】【分析】（1）求出f'（x），将f（x）在上单调递增转化为f'（x）≥0恒成立，再转化为最值问题求解即可；（2）设g（x）=f（x）-bx=eaxsinx-bx，x∈，利用导数研究其单调性，求其最值，进而求出的取值范围，代入b-e2a构造函数，求其最小值即可.(1)由f（x）=eaxsinx，得f'（x）=eax（asinx+cosx），由f（x）在上单调递增，可得f'（x）≥0恒成立，即asinx+cosx≥0恒成立，当x=0时，a∈R；当x∈时，a≥恒成立，因为，∴a≥-1，∴a的取值范围为[-1，+∞）.(2)设g（x）=f（x）-bx=eaxsinx-bx，x∈，则g'（x）=eax（asinx+cosx）-b，设h（x）=eax（asinx+cosx）-b，则h'（x）=eax[（a2-1）sinx+2