高考数学微专题07 函数压轴小题（解析版）

微专题07函数压轴小题秒杀总结一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．三、函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.典型例题例1．（2021·福建省福州第一中学高二期末）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.【详解】由题设，且，∴，则，∴为奇函数，令，∴，即是奇函数，∴在上的最小、最大值的和为0，即，∴.故选：B例2．（2021·天津·耀华中学高二期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，例3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【详解】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.例4．（2021·四川自贡·高二期末（理））函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意有且只有一个整数解，令，，在同一坐标系中分别作出其图象，数形结合可得结果.【详解】已知函数，则有且只有一个整数解.令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值.设，则恒过点.在同一坐标系中分别作出和的简图，因为，所以，所以，依题意得即，解得，又，所以.故选：C.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则A． B． C． D．1【答案】C【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.例6．（2021·重庆市第七中学校模拟预测）已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【答案】C【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．例7．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，即可得答案；【详解】函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，，令，，在递增，在递减，，且令，，令，则，，，当，，，在递增，在递减，且，所以直线与有两个交点，可得的取值范围为：.故选：D.例8．（2021·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意转化为函数与函数的图象恰好有两个交点，即方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，所以方程，即在上有两个不同的解，构造函数，则，当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减，所以，解得，又由，所以函数在上有且仅有一个零点，令，则，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减，所以，所以，即，又由，所以函数在上有且仅有一个零点．综上可得：，即实数的取值范围是．故选：A.例9．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为A． B． C．-1 D．1【答案】D【详解】令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，对于μ=，则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故选D．例10．（2021·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【分析】方程有解，原方程两边同除以，然后令，问题变为有解，即有解，引入函数，由导数求出它的最小值，解关于参数的不等式可得的范围．【详解】由得，设，，则，则有解，设，为增函数，，当时，递增，当时，递减，所以当时函数取极小值，，即，若有解，则，即，所以或，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解问题，对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．例11．（2021·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意有方程有两个不同的实数根，则，令，求导得函数的单调性与极值，由此可求出结论．【详解】解：∵，定义域为，函数在上为增函数，∴由题意有，，，即方程有两个不同的实数根，∴，令，则，由得，由得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，又当时，，当时，，∴，∴当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，此时方程有两个不同的解，∴的取值范围为，故选：C．例12．（2021·四川自贡·高二期末（文））设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得到等价命题在上有解，变量分离构造函数，利用导函数求最值.【详解】因为函数在定义城内单增函数，所以有解等价于有解，故在上有解，令即，令则，当时，，单调递增，当时，单调递减，∴，故实数的取值范围为.故选:C【点睛】本题涉及的方法有，等价转换，方程能成立，变量分离，构造新函数，求最值，属于难题.例13．（2016·湖南·高三开学考试（理））将函数y＝ln（x＋1）（x≥0）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（θ∈（0，α]），得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为A．πB．C．D．【答案】D【解析】试题分析：因为x≥0时，y′＝是x的减函数且0