高考数学微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题（解析版）

微专题15立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题秒杀总结1.立体图形中的截面问题：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.2.立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.3.对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的静是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.静只是动的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住静的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.典型例题例1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM⊥平面，则下列说法正确的是________．①若N为中点，当AM＋MN最小时，；②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．【答案】①④⑤【解析】【分析】利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.【详解】对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），若最小，则、、三点共线，因为，所以，所以，即，故①正确；对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），在正方体中，平面，平面，所以，又因为，且，所以平面，又平面，所以，同理可证，因为，所以平面，易知△是边长为的等边三角形，其面积为，周长为；设、、、，，分别是，、，，，的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，4，，设，4，，因为平面，所以是平面的一个法向量，且，4，，，4，，，，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；对于④，连接、，设平面交棱于点，0，，，4，，所以，4，，因为平面，平面，所以，即，得，所以，0，，即点是的中点，同理点是的中点，则且，所以四边形是梯形，且，，设，0，，，，，则，，所以梯形的高，即点到直线的距离，为，所以梯形的面积为，故④正确；对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，所以表面积为故答案为：①④⑤．【点睛】解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.例2．（2022·福建福州·高三期末）在正三棱柱中，，F是线段上的动点，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，把正三棱柱的上底面与侧面矩形放在同一平面内，再求两点间距离作答.【详解】依题意，把正三棱柱的上底面与侧面矩形放在同一平面内，连接，交于点F，如图，此时点F可使取最小值，大小为，而，，所以的最小值为.故答案为：例3．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据正四棱锥的性质，将所在平面展开在一个平面上，即可判断最小时的位置关系，即可确定最小值.【详解】正四棱锥如下图示，将面与面展开在一个平面上，E、F为中点，如下图，所以在移动过程中，当共线时，最小为.故答案为：.例4．（2022·山西晋中·模拟预测（文））如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．①；                                 ②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；③的最小值为；             ④的取值范围是．【答案】①③④【解析】【分析】①可以根据线面垂直的性质可得证，②可以先证明平面，得到三棱锥的体积为定值来判断正误，③通过，得到进而可以判断正误，④可用余弦定理来求得其范围.【详解】易知，平面，而平面，所以，①正确；在中，点M，N分别为线段，的中点，所以，因为平面，而平面，所以平面，所以点P到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，②错误；易知，所以，所以，③正确；设，易知x的取值范围为，则，所以的取值范围是，④正确．故答案为：①③④．例5．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））在长方体中，，若过其对角线的平面截该长方体所得截面与边没有公共点，则截面面积的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】当截面与相交时，设截面与的交点分别为E，F，则截面为平行四边形，设，求得，利用余弦定理结合平方关系求得，从而用表示截面面积，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：当截面与相交时，设截面与的交点分别为E，F，则截面为平行四边形，设，则，，易得，∴，∴，∴，易得的最小值为，当截面与相交时，由对称性知其面积的最小值也为，故截面面积的最小值为.故答案为：.例6．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足．则三棱锥的体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设由得到，表示出三棱锥的体积，利用基本不等式求最值.【详解】如图示，不妨设则，所以.而.故三棱锥的体积的最大值为.故答案为：.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的外接球表面积为，点，分别在线段，上，若为正方形的中心，且，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据条件可求出正方体的边长，然后要使得最小，则有，然后可得，过点作交于点，则有，然后可得答案.【详解】因为外接球表面积为，所以其半径为因为正方体的外接球的直径为，所以，因为为正方形的中心，所以为线段的中点提取出平面图形：要使得最小，则有，过点作交于点，则有因为，所以所以当三点共线时，最小，最小值为1所以的最小值为，所以故答案为：例8．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为________.【答案】【解析】【分析】在侧面B′AC上，F点的轨迹是EP，在侧面B′CD上，F点的轨迹是EQ，在底面ACD上，F点的轨迹是PQ，求的△EPQ周长即可．【详解】连接AC、BD，交于点O，连接OB′，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均为正三角形，所以∠B′OD为二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因为OB′＝OD，所以△B′OD为正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中点P，取CD中点Q，连接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱锥B'﹣ACD表面上，满足AC⊥EF的点F轨迹的△EPQ，因为EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周长为，所以点F轨迹的长度为．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，属于偏难题型，本题的关键是通过条件，得到平面，从而得到点的轨迹，过关测试1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法不正确的是（       ）．A．过点E，F，G做四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2B．四面体ABCD的体积为C．AC与BD的公垂线段的长为D．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4【答案】B【解析】【分析】选项A中，做出四面体的图形，画出对应的截面，求出截面积；选项B中，将立方体拆成两部分求解体积；选项C中，画出公垂线，求解长度；选项D中，结合长方体外接球求出最大值和最小值【详解】                                                              图1                                                                                  图2选项A中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，则,，所以四边形为平行四边形，找的中点,连接，因为，所以平面，所以平面，平面，所以，所以，所以四边形为矩形，，，所以截面的面积，故A正确；选项B中，中，由勾股定理得：，同理，过点作,则，所以由勾股定理得：，所以，由选项A可得：平面,所以，，故B错误；选项C中，AC与BD的公垂线段即为，长度为，故C正确；选项D中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，，所以外接球的半径，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，半径，截面积最小为，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故D正确故选：B2．（2022·河南·一模（理））如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的个数是（       ）①点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2②平面截直四棱柱所得截面的面积为③平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25④平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】对于①：利用点A到平面的距离与点B到平面的距离相等点A1到平面的距离是点A到平面的距离的2倍即可判断；对于②、④：作出截面即可判断D，分别求出各个边长，将五边形D1MEFN可分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，分别求面积即可；对于③：记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为V1、V2，分别求出V1、V2，即可判断.【详解】解：对于①：因为平面过线段AB的中点E，所以点A到平面的距离与点B到平面的距离相等由平面过A1A的三等分点M可知，点A1到平面的距离是点A到平面的距离的2倍，因此，点A1到平面的距离是点B到平面的距离的2倍.故命题①正确；延长DA，DC交直线EF于点P，Q，连结D1P，D1Q，交棱A1A，C1C于点M、N，连结D1M，ME，D1N，NF，可得五边形D1MEFN.故命题④错误.由平行线分线段成比例可得：AP=BF=1，故DP=DD1=3，则△DD1P为等腰三角形.由相似三角形可知，AM=AP=1，A1M=2，则，.连结MN，则，因此五边形D1MEFN可分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN.等腰梯形MEFN的高，则等腰梯形MEFN的面积为.又，所以五边形D1MEFN的面积为，故命题②正确；记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为V1、V2，则，所以，.故命题③正确.综上得说法中正确的是：①②③，故选：D.【点睛】立体图形中的截面问题：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（       ）A．不存在点使得异面直线与所成角为90°B．存在点使得异面直线与所成角为45°C．存在点使得二面角的平面角为45°D．当时，平面截正方体所得的截面面积为【答案】D【解析】【分析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；