高考数学微专题17 圆锥曲线压轴小题（解析版）

微专题17圆锥曲线压轴小题秒杀总结1.求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．③几何法：寻找几何关系，将问题转化④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解2.解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.典型例题例1．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（文））双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（       ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意得到，分别用圆的方程和双曲线的方程及渐近线，联立方程组，求得的坐标，结合，求得，进而求得双曲线的方程.【详解】由题意，双曲线的焦距为4，可得，即，即，又由双曲线的一条渐近线方程为，联立方程组，整理得，即，可得，又由方程组，整理得，即，可得，因为点的纵坐标是点纵坐标的2倍，可得，解得，所以，所以双曲线的方程为.故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，所以四边形为矩形，，设，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B例3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先确定点是在以O为圆心，1为半径的圆上，根据当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，可知点应在以的中点为圆心，2为半径的圆外，由此可列出关于参数的不等式，即可求得答案.【详解】连接,则,所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，设的中点为，则，且,因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离，故，解得或，即，故选:A.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】设点，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到的关系式，分析化简知，代入化简即可得解.【详解】设点，点当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；当，，由，知，即，即（*）又，知，即将（*）式代入，得由于，有因此有，即，即由于，所以（*）式可知不满足条件，则有代入（*）式得所以，故故选：B例5．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的渐近线方程为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则D．不存在点，使得取得最小值【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；由且，解得：，∴，则，∴，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设△的内切圆的半径为，则，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正确；若与关于y轴对称，则且，而，∴，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，故存在使得取最小值，D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（       ）A．32 B．48 C．64 D．72【答案】C【解析】【分析】设直线的方程为，可以先利用方程联立，利用弦长公式，借助韦达定理求出，由于直线，求时只需要将k换成即可，然后利用基本不等式求最值即得．【详解】抛物线的焦点，因为，所以直线，斜率存在，且均不为0．设直线的方程为，联立，化简得．则，所以．因为，故的斜率为，同理可得，所以，当且仅当，即是取等号，故的最小值是64，故选：C例7．（2022·全国·高三开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题设可得抛物线E为，直线为，联立方程应用韦达定理、弦长公式求，由求，结合得到椭圆参数的齐次方程求离心率即可.【详解】由题设知：，，且抛物线E为，∴直线为，联立抛物线方程有，整理得：，则，即，令且，则，∴，∴，令，如上图易知：，即，可得，∴，又，∴，整理得，而，∴，则.故选：C.【点睛】关键点点睛：由，应用弦长公式求，根据求，进而得到齐次方程求离心率.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率．【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，所以，由椭圆的定义知，则，所以，所以，所以，.又圆与圆的面积之比为4，所以圆与圆的半径之比为2，因为，所以，即，整理得，故椭圆的离心率.故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C．或4 D．或2【答案】D【解析】【分析】需分为A，B在y轴同侧或A，B在y轴异侧分类讨论，画出对应图形，同侧时，结合，由几何关系表示出，再结合离心率公式即可求解；异侧时，结合内切圆半径公式得，化简可得，联立勾股定理|OB|2=|AB|2+a2求出，|OB|，求出，再由离心率公式即可求解.【详解】若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限，如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，从而可得；若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a，所以△OAB的内切圆半径为，所以，又因为|OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a，所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，则，从而可得.综上，双曲线C的离心率为或2.故选：D例10．（2022·陕西渭南·一模（文））已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，且平分，则的离心率为(       )A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出P点坐标和直线PA方程，平分，则O到PM的距离等于到AP的距离，列式可求离心率﹒【详解】如图，双曲线的渐近线取，则，由，∴P()，，故，∴，即∵平分，∴O到PM的距离等于O到AP的距离|OM|，即，化简整理得，解得e=2，故选：A﹒过关测试1．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，，分别为直线BP，QF的斜率，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系可得，设，则可以求出，然后设，则，进而求出范围.【详解】对椭圆C，，右焦点，易知，则，，设，则，设，则，所以，因为，所以，所以，易知，于是，.故选：D.【点睛】本题运算量较大，但圆锥曲线题目的思路一定要直接，点在圆上，我们可以借助参数方程的方法来设点的坐标，然后再进行换元法来进行处理.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先讨论和两种情况，解出；进而讨论且时，利用直线的到角公式结合基本不等式即可求得.【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，若，则，，，所以；若，则，，，所以；若且，此时且，，所以，因为,所以，则，当且仅当时取“=”，而，所以.综上：的最大值为.故选：B.【点睛】本题核心的地方在“”这一步，首先分式“”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“”这一步的拆分，三个式子一定要相同（），否则不能取得“=”.3．（2022·河南信阳·高三阶段练习（理））已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】分析：不妨设在第二象限，由外接圆面积得其半径，设，利用正弦定理求出，从而可得，然后求得点坐标，把点坐标代入双曲线方程可得关系式，化简后可求得离心率．详解：不妨设在第二象限，则在等腰中，，设，则，为锐角．外接圆面积为，则其半径为，∴，∴，，∴，，设点坐标为，则，，即点坐标为，由点在双曲线上，得，整理得，∴．故选C．点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．4．（2022·全国·高三专题练习）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|   ∴，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，   ∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为．故选B．点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.5．（2022·全