高考数学微专题08 导数压轴小题（解析版）

微专题08导数压轴小题秒杀总结一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.二、不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造.四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.典型例题例1．（2021·重庆市朝阳中学高二月考）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可.【详解】在上恒成立，即为在上恒成立，令，，若，则，可得在递增，当时，，不等式在上不恒成立，故.由，可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，则，则.令，，，可得在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则的最小值是.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的思想.例2．（2021·广东·佛山一中高三月考）已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对求定义域，然后求导，得到函数为减函数.将转化为，构造函数，利用其导数恒小于零，结合一元二次不等式的判别式，可求得的取值范围.【详解】，在单调递减，设.设则在上单调递减，则对恒成立，则对恒成立，则，解之得或.又，所以.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中直线的斜率的绝对值都不小于的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.例3．（2021·河北·石家庄二中高二月考）已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则（）A．在上单调递增B．C．的取值范围是D．若，则只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到的取值范围；对于A，利用导数即可得到在上的单调性；对于B，利用根与系数的关系可得；对于C，化简，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D，将代入，令，可得的单调性，进而求得的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，且，则，是方程的两个不等正根，则，解得，当时，函数，此时，所以在上单调递增，故A正确；因为，是方程的两个不等正根，所以，故B错误；因为，易知函数在上是减函数，则当时，，所以的取值范围是，故C正确；当时，，令，得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在取得极大值，且，，所以只有一个零点，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.例4．（2021•杭州模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为 2 ，当取到最小值时， ．【解答】解：，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，故．故答案为：2，．例5．（2021春•湖州期末）若存在正实数，使得不等式成立，则 A． B． C． D．【解答】解：记，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，．记，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由题意，又因为，所以，故．另解：正实数，，，令，当时，；当时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以（1），于是，于是，当且仅当时不等式取等号，又，当且仅当时不等式取等号，，所以且，解得，所以．故选：．例6．（2021·河北冀州中学高三期中（理））已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】,令，利用导数求出的最大值，从而可得结果.【详解】,令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在单调递减，的最大值为，则，即实数的取值范围是，故答案为,【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范.例7．（2021·全国·高二课时练习）设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通过条件，先确定函数图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.【详解】由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.所以．故选：B.例8．（2021·河北武强中学高三月考）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；又，从而有，利用的单调性即可求解．【详解】解：令，，，在定义上单调递减；①又为偶函数，，，，则不等式，即，由①得，故选：C．例9．（2021·全国·高二课时练习）设函数满足则时，A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值【答案】D【详解】函数满足，，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.例10．（2021•天河区二模）若，，均为任意实数，且，则的最小值为 A． B．18 C． D．【解答】解：，可得在为圆心，1为半径的圆上，表示点与点的距离的平方，设过切点的切线与过的法线垂直，可得，即有，由在递增，且（1），可得切点为，圆心与切点的距离为，可得的最小值为，故选：．例11．（2021•湖北模拟）设．其中，则的最小值为 A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，由表示两点与点，的距离，而在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和与的距离的和再加上1，由图象可得当，，三点共线，且为曲线的法线，取得最小值，即为切点，设为，由，可得，设，则递增，且，可得切点，即有，则的最小值为．故选：．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后利用导数求出的最小值即可.【详解】由得即，构造，即因为在上单调递增，所以，所以所以，令，则所以在上单调递减，在上单调递增所以，所以，即又，即所以的取值范围是故选：B过关测试1．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用导数法判断函数为增函数求解.【详解】设，则，所以函数为增函数，由，得，由，得，所以由不等式，得，∴，故选：C2．（2021·全国·高二课时练习）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【点睛】本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造.3．（2021·全国·高二课时练习）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数得到也是上的单调递增函数.，分析得到函数关于点对称.由得到，即得解.【详解】构造函数，所以也是上的单调递增函数.因为，所以关于直线对称，所以，（为常数），，令，所以.因为，所以所以，所以函数关于点对称.由得到，因为，所以，所以，所以，所以.故选：A5．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当时，恒成立，即恒成立，又由，可得，令，可得，则函数为偶函数，且当时，单调递增，结合偶函数的对称性可得在上单调递减，由，化简得到，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：B.6．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中）已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.【详解】解：由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即在上单调递增，又，故为上的偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减，故，故，故选：C．7．（2021·湖北·高三月考）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：∵，故①正确；由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；当时有无数个实数根，故③错误；当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,故选：C8．（2021·浙江·诸暨中学高二期中）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，