高考数学微专题23 痛点问题之概率统计经典解答题（解析版）

微专题23痛点问题之概率统计经典解答题秒杀总结★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．收集数据整理数据分析数据统计推断三种抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机法），系统抽样，分层抽样．五种统计图表：频率分布表，频率分布直方图，茎叶图，散点图，列联表．两种数字特征：集中趋势(众数、中位数、平均数)，离散程度（极差、方差、标准差）．三种统计推断：用样本估计总体（估计思想），回归分析（拟合思想），独立性检验（检验思想）．二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．随机事件事件概率基本概型八种常见事件：随机事件，基本事件，等可能事件，并事件，交事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件．三种常见求法：用频率估计概率，利用基本概型的概率公式，转化为简单事件的概率.七种概率模型：古典概型，几何概型，互斥事件概率，对立事件概率，条件概率，相互独立事件概率，独立重复试验概率．三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．随机变量概率分布模型分布列及数字特征两类随机变量：离散型随机变量，连续型随机变量．四种分布模型：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布．三个问题：概率分布列，数学期望，方差．典型例题例1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2021年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）“比赛完3局时，求三人各胜1局”分为两种情况，①小王胜小张，小王输给小马，小马输给小张；②小张胜小王，小张输给小马，小马输给小王.（2）比赛完4局时，小马做1次裁判分为两种情况：①小王胜小张，小王输给小马，小马胜小张；②小王输给小张，小张输给小马，小马胜小王.比赛完4局时，小马最多做2次裁判.(1)设小王与小张比赛小王获胜记为事件A，小马与小张比赛小张获胜记为事件B，小马与小王比赛小马获胜记为事件C，且A，B，C相互独立.则设“比赛完3局时，三人各胜1局”记为事件M，则(2)X的可能取值为1，2则X的分布列为X12P则例2．（2022·全国·高三专题练习（理））2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的.(1)记小明前2题累计得分为，求的概率分布列和数学期望；(2)记第题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式.【答案】(1)01040数学期望为(2)证明见解析，【解析】【分析】（1）写出的可能取值，并求出相应的概率，从而求出分布列及期望；（2）根据题意列出与的关系式，利用构造法求出的通项公式.(1)的所有可能取值为0，10，40，.∴的分布列如下：01040；(2)根据题意得：第题回答正确的概率为，则，所以，而，∴成首项为，公比为的等比数列，所以，故.例3．（2022·广东·高三开学考试）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．【答案】(1)分布列见解析，（分）(2)【解析】【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为，再根据导出求出函数的单调区间，即可得出答案.(1)解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；(2)解：设一天得分不低于3分为事件，则，则恰有3天每天得分不低于3分的概率，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值.例4．（2022·全国·高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度21232527293133平均产卵数/个7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.附：回归方程中，，.参考数据52151771371781.33.6【答案】（1）；（2）当时，.【解析】【分析】（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为关于的回归方程；（2）由对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的值.【详解】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.对两边取自然对数，得，令，，，则，由数据得，，，所以，，所以关于的线性回归方程为，则关于的回归方程为；（2）由得，因为，令得，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.例5．（2022·全国·高三专题练习）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．附：若，则，，．【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．【详解】（Ⅰ）由，易知，则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，∴的分布列为∴．（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，∴．【点睛】方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.过关测试1．（2022·全国·高三专题练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布N(270，).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0高考适应性训练数学试题（一））十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生