高考数学微专题12 导数解答题之证明不等式问题（解析版）

微专题12导数解答题之证明不等式问题秒杀总结利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形例1．（河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，.(1)若恒成立，求实数m的取值范围；(2)求证：当时，.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）令，然后利用导数求出的最大值即可；（2）由（1）可知恒成立，即，要证，只需证明成立即可，然后设，利用导数求出的单调性，然后即可证明.(1)令，则所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，若恒成立，则，即.(2)证明：由（1）可知恒成立，即，要证，只需证明成立即可.设，则，设，则，易得在上单调递减，在上单调递增，又，，因为，所以，所以存在，使得，所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，因此，当时，，故当时，.例2．（一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）-2022届高三数学一轮复习）已知函数，且函数与有相同的极值点.（1）求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求得的极大值点为，由可得，经检验可确定；（2）先求得在上的最大值和最小值，然后分和两种情况可得的取值范围；（3）所证不等式即为，通过证明和即可证得结果.【详解】（1）的定义域为，，由得，易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，，依题意有，解得，经验证符合题意，故.（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，又，且，当时，，.①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，，又，此时的取值范围为；②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，所以，又，此时的取值范围为.综上，实数的取值范围为.（3）证明：所证不等式即为，下证：，即证，设，则，令，则，易知函数在上单调递减，且，故存在唯一的，使得，即，，且当时，，即单调递增；当时，，即单调递减，，在单调递减，又时，，故，即；再证：，即证在上恒成立，设，，在单调递增，则，即，故，综上，.【点睛】关键点点睛：第（3）问的关键点是：将证明转化为证明和.例3．（云南省昆明市2022届高三摸底考试数学（理）试题）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）构造函数，利用导数判断的单调性，从而证得不等式成立.(1)，，，故曲线在点处的切线方程为.即．(2)设，则．由（1）知，又，所以，所以在上单调递增，故，所以，，．过关测试1．（河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考文科数学试题）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：，.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）把证明转化为证明，令，求得，再令，利用导数求得在上为增函数，结合零点存在性定理得到存在唯一的使得，进而得到函数的单调性与最值，即可求解.(1)解：由题意，函数，可得，若，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.若，由得或.①当时，可得，所以在上单调递增.②当时，可得，故当，时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.③当时，则，故当，时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)解：当时，欲证成立，只需证，令，则（其中），令，则，所以在上为增函数，因为，，所以由零点存在性定理得，存在唯一的使得，即，即，所以由得，故时，，时，，所以，故成立，即.【点睛】对于利用导数证明不等式证明问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2．（山西省临汾市2022届高三高考考前适应性训练（一）数学（文）试题）已知函数.(1)若对，曲线在点处的切线恒过点，求的值；(2)当时，证明：.【答案】(1)0(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出曲线在点处的切线方程，再将代入可得的方程，解方程即可；（2）当时，，所以原问题转化为恒成立，令，利用导数在函数最值中的应用，求出，由此即可证明结果.(1)解：的定义域为，所以曲线在点处的切线方程为：将点代入得：，化简得：上式对恒成立，所以.(2)证明：当时，，若恒成立，则原命题得证.令，则，，所以在上单调递增，且所以在单调递减，在单调递增.所以，即恒成立，所以原命题得证.3．（河南省豫南地区2022届高三下学期2月联考理科数学试题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，求证：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据求导公式和运算法则求出，令、，解不等式即可；(2)将原不等式变形为，设，利用二次求导讨论的单调性，根据零点的存在性定理讨论的零点，进而求出的极值即可.(1)的定义域为R，，当时，，则在R上为增函数；当时，，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数．(2)由及，得．设，则．设，则，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，因为，，所以，又，所以存在，使得，所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，所以为的极大值，为的极小值，因为，所以当时，（当且仅当时取等号），故当时，．4．（河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题）已知函数．(1)当时，求的零点个数．(2)若，证明：．【答案】(1)有且仅有一个零点(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间和最小值，再利用零点存在性定理判断即可，（2）构造函数，求导后利用零点存在性定理可得存在唯一，使得，且判断出，而，再构造函数，利用导数求出其最小值大于等于零即可(1)由题意可知的定义域为，且．则当时，；当时，．故在区间上单调递减，在上单调递增．因为，所以．当时，，，故；当时，．因为在上单调递增，所以当时，有且仅有一个零点．(2)证明：设，则．由（1）知当时，有且仅有一个零点．因为，，故存在唯一，使得．且当时，；当时，．则在区间上单调递减，在上单调递增．故．因为，即，所以，所以，．设函数，则，显然在上恒成立，则在上单调递减，即在上单调递减，故，即．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数，利用导数和零点存在性定理求得，然后再利用导数求出其最小值非负即可，考查数学转化思想，属于较难题5．（江苏省苏州市八校联盟2021-2022学年高三上学期12月第二次适应性联考数学试题）已知函数（，）.(1)若，是函数的零点，求证：；(2)证明：对任意，，都有.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）时，将整理为，构造函数，根据其单调性推知，则命题得证；（2）利用时，将所证不等式变形为证明，接下来构造函数，令，得另一函数，通过求导判断其单调性，最终即可证明不等式成立.(1)当时，，令，显然在上单调递增，，由，∴(2)对，令，则在单调递增，且，所以当时，，即，当时，令，令，∴，在上单调递减，上单调递增，∴，即∴（∵两次不等式取“=”条件不一致）即，证毕!【点睛】关键点点睛：利用时将所需证不等式变形，以及在构造函数之后，采用换元令得到新的函数再进行求导判断单调性证明不等式，是本题不等式证明的两个关键点.6．（湖北省荆州中学2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知函数，，其中是自然对数的底数．(1)当,，求的取值范围；(2)当时，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的是否恒成立，由此可求得实数的取值范围；（2）将所证不等式转化为证明（此时），由（1）中的结论可知，当时，函数在上恒为增函数，只需证明，构造函数，其中，利用导数得出，即可证得结论成立.(1)解：因为，则，①当时，由可知，又因为，当且仅当时，等号成立，所以恒成立，且不恒为零，所以函数在上为增函数．又，所以对恒成立；②当时，令，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递增，因为，，由零点存在定理可知，存在，使得.当时，，此时函数单调递减，故，不合乎题意.综上所述，.(2)证明：要证，只需证，即证，即证，即证（此时），由（1）可知当时，函数在上恒为增函数，所以即证，不妨令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故，即，所以原结论得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.7．（陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第八次大练习理科数学试题）己知函数.(1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）将不等式转化为，设，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由此可得实数a的取值范围；（2）令，利用正弦函数的性质可得证.(1)解：当时，，则可化为，设，则，因此在上单调递减，在上单调递减，则，所以；(2)证明：令，则，所以①当时，，此时；②当时，由（1）可知：当时，，即③当时，，综上所述：当时，.8．（全国2021届高三5月份数学模拟试题（四））已知函数f（x）＝1+lnx+ln2x﹣x.（1）若g（x）＝f′（x），求g（x）的极大值.（2）当x≥a（a∈R）时，f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值.（3）当x∈（0，1）时，证明：xex+3sinx＞4x+x2.【答案】（1）；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出，然后求导判断单调区间即可求出极大值；（2）借助第一问的结论可以求出的范围，进而求得最小值；（3）放缩后构造函数，求出其最值，即可得证.【详解】（1），，因为当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，且，故的极大值为；（2）由（1）知：当时，恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，恒成立，所以，故实数a的最小值为1；（3）由（2）知：时，恒成立，令，所以恒成立，所以，故，当时，要证，只需证，即证，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，，所以，即，因此在上单调递增，，所以，即，故在上单调递增，，所以，即原不等式成立.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．9．（山东省2021-2022学年高三上学期12月备考监测第二次联合考试数学试题）设函数.(1)若恒成立，求的取值范围.(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）对分和两种情况讨论，求出函数的单调性即得解；（2）即证，证明，即得证.(1)解：.当