高考数学微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究（解析版）

微专题18圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究秒杀总结交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标典型例题例1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合，求得的值，得出双曲线的标准方程，（2）设，则，联立方程组，求得的坐标，即可求得直线的方程；（3）设，得到，联立方程组，求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解．(1)由题意得：，，.解得，，所以双曲线的标准方程为.(2)方法1：设，则依题意有解得，所以直线的方程为或.方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：.当时设，，得，.又因为，所以，，解得.此时，所以直线MN的方程为或.(3)方法1：设，，直线PM的方程为，直线ON的方程，联立两方程，可得①结合（2）方法2，可得代入①得故.所以直线PM与QN的交点在定直线上.方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：.设，，，，由根与系数的关系，得，.：，：，联立两方程，可得：，解得所以直线PM与QN的交点在定直线上.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．【答案】(1)(2)直线的方程为，证明见解析(3)【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式直接求得值；（2）设，，设切点为，曲线，，从而，由此能求出直线，并能证明直线过定点；（3）设，，，从而求出交点，，设过点的直线为，联立，得，由此能求出点满足的轨迹方程为．(1)设抛物线的方程为，∵抛物线的焦点到直线的距离为，∴，解得或（舍去，∴，，∴抛物线的方程为．(2)设，，设切点为，曲线，，则切线的斜率为，化简得，设，，，则，是以上方程的两根，则，，，直线的方程为：，整理得，∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，∴，即直线的方程为：，化简得，又∵，∴，故直线过定点．(3)设，，，过的切线，过的切线，则交点，设过点的直线为，联立，得，∴，，∴，∴．∴点满足的轨迹方程为．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，且为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据题意椭圆上的点到焦点的最小距离得，再根据离心率为，得，即可解得椭圆的方程.（2）直线与椭圆交于，两点，设，，，，根据题意求出轴时，点，轴，.当直线的斜率存在且不为0时，设，联立直线与椭圆方程，韦达定理写出、关于与的式子，再把的式子也用与表示出来，再利用，知，代入得，再利用得直线的方程为，联立直线与直线，把与用与表示出来，代入中，化简即可得到关于与的方程，再结合①②即可得到答案.(1)由题意知：，，，解得，．故椭圆的方程为．(2)设，，，，（i）若轴，可设，，因，则，．由，得，即；若轴，可设，同理可得；（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设，由，消去得：，则，，由，知．故，即（记为①．由，可知直线的方程为，联立方程组，得（记为②，将②代入①，化简得．综合（1）、（2），可知点的轨迹方程为．例4．（2022·全国·高三开学考试（理））椭圆：的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)，分别为椭圆的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线与的交点在定圆上.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得且，再根据椭圆过点，即可求出，从而得解；（2）设，，，即可得到、的方程，表示出、的坐标，从而得到、，两式相乘整理即可得到交点方程；(1)解：由得，由，所以，把点代入方程得，所以，所以椭圆的方程为.(2)解：设，，，由方程：，得，由BP方程：，得，∴的方程为，①的方程为，②由①②相乘得，③由，在椭圆上可得，，代入③式可得：，即直线与的交点在定圆上.过关测试1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是、、．(1)若直线MN过点，求证：为定值；(2)设直线MN与x轴的交点为(t为常数且)，试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)是，.【解析】【分析】(1)设直线MN为：，，，联立MN方程和椭圆方程，根据韦达定理和斜率计算公式计算即可；(2)设MN：，，.联立MN方程和椭圆方程，求得根与系数关系.联立AM与BN方程，消去y，求解x，将根与系数关系代入化简即可求解.(1)设直线MN为：，，，由得，0，∴，，∴，∴为定值；(2)设MN：，，.，，，∴，则，，AM和BN方程联立得，，即，即，即直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上.2．（2022·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：)的上顶点为，离心率，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与x轴交于M，N两点，过点M，N分别作直线PA，QA的垂线，设交点为R．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：点R在定直线上运动．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得到，再由，求得，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组求得，得到，分别求得和的方程，求得，，结合，求得和的方程，代入即可求解.(1)解：由题意，椭圆C：)的上顶点为，可得，由离心率，可得，解得，所以椭圆的方程为.(2)解：由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，则，又由，所以直线的方程为，即，令，可得，即，同理可得：直线的方程为，点，因为，所以，所以直线的方程为，可得直线的方程为，可得，所以，整理得，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以点在定直线上运动.3．（2022·山西·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)将点的坐标代入椭圆方程得出关于a、b的方程，结合离心率列出方程组，解方程组即可；(2)设过点G的直线方程为、，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据直线的点斜式方程求出直线AM与BN的方程，两式相除，化简计算可得直线AM与BN的交点的横坐标为4，即可证明.(1)由题意知，，化简得，解得，故椭圆的方程为；(2)设过点G的直线方程为，，消去x，得，，设，则，所以又，得，所以直线AM的方程为，直线BN的方程为，两式相除，得，即，又，即，解得，即直线AM与BN的交点的横坐标为4，所以直线AM与BN的交点在定直线上.4．（2022·河南·模拟预测（理））在直角坐标系中，椭圆与直线交于M，N两点，P为MN的中点．(1)若，且N在x轴下方，求的最大值；(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质，找到与直线MN，OP倾角的关系，从而找到斜率关系，联立直线MN与椭圆得到韦达定理，然后利用两角和差公式以及均值不等式求解即可.（2）利用坐标分别表示出直线AN，BM的方程，联立方程组可发现其两直线交点横坐标为定值.(1)设，．（1）记l的倾斜角为，OP的倾斜角为，则．由得，则所以，于是．故．所以，当且仅当，即时，取到“=”．所以的最大值为．(2)易知，．由题意知，，所以直线AN的方程为，直线BM的方程为．令，解之得所以点D恒在定直线上．5．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，离心率为直线和C交于M，N两点(1)当时，求的值；(2)设直线的交点为D，证明：点D恒在一条定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可求出，再由，可求出，从而可求出椭圆方程，将代入椭圆方程中可求出M，N两点坐标，进而可求出的值，（2）设，将直线方程代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程和直线的方程，联立求出其交点的横坐标化简可得答案(1)设椭圆的半焦距为．根据题意，，因为，所以，所以，所以C的方程为，当时，，代入C的方程可得，所以．(2)由，得，设，则因为，所以直线的方程为，直线的方程为．令，解之得所以点D恒在定直线上6．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆C：的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．【答案】(1)(2)，是定值【解析】【分析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2），则计算可得，利用在椭圆上化简前者可得N点的轨迹方程，从而可得三角形的面积之比.(1)（1）由题意，a＝3，又，∴，则．∴椭圆C的方程为.(2)设，则．∴直线AP的方程为，取x＝4，可得点，∵直线BE的斜率为，∴直线l的方程为，又直线PB的方程为，联立直线l与PB的方程，消去y得，∴，即，∵，∴，代入①解得点N的横坐标，即N点轨迹方程为：∴．故△BMO与△NMO的面积之比为4：7．7．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)，离心率为(2)【解析】【分析】（1）由题意可得，，可求出，再由可求得，从而可求出椭圆C的方程和离心率；（2）设，，当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，结合，可求出的值，从而可得直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，求出的坐标，结合可求出的值，得F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，从而可求出射影H的轨迹方程(1)由题意可得：，，，可得，，，所以椭圆C的方程为，离心率为．(2)当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程，得：．设，，则．因为直线，垂直，斜率之积为，所以，所以．将代入，整理化简得：，所以或．由直线，当时，直线l经过，与B点重合，舍去，当时，直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，则，，因为，所以，解得，舍去．综上所述，直线l经过定点，而F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，其，，所以圆心，半径，所以圆的方程为，即为点H的轨迹方程．8．（2022·河北石家庄·一模）已知抛物线：（），过点的直线与抛物线交于，两点（在的左侧），为线段的中点.当直线斜率为时，中点的纵坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)若线段上存在点，使得，求点的轨迹方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）设，，由题设得直线，联立抛物线方程，由韦达定理及中点M纵坐标求参数p，即可得抛物线方程.（2）由，设、直线为：并联立抛物线，根据根的个数、韦达定理求t的范围及，再由已知条件可得，结合在线段上得到关于t的参数方程，进而可得的