导数不等式证明18种题型归类 （解析版）

导数不等式证明18种题型归类目录一、知识梳理与二级结论题型十：三角函数型极值点偏移不等式证明二、热考题型归纳题型十一：三个零点型不等式证明题型一：不等式证明基础题型十二：三个极值点型不等式证明题型二：三角函数型不等式证明题型十三：系数不一致型不等式证明题型三：数列“累加型”不等式证明题型十四：极值构造(利用第一问结论)题型四：双变量构造换元型不等式证明题型十五：先放缩型不等式证明题型五：同构型不等式证明题型十六：切线放缩型不等式证明题型六：双变量“比值代换”型不等式证明题型十七：利用韦达定理置换型不等式证明题型七：凸凹反转型不等式证明题型十八：泰勒展开型不等式证明题型八：极值点偏移型不等式证明三、高考真题对点练题型九：“极值型偏移”不等式证明四、最新模考题组练知识梳理与二级结论1.应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法：证明不等式fx>gx(或fx0(或fx-gx<0)，进而构造辅助函数hx=fx-gx；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.x2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：y=e在点0,1处的切线为y=x+1，如图所示，易知xx除切点0,1外，y=e图象上其余所有的点均在y=x+1的上方，故有e≥x+1．该结论可构造函数xfx=e-x-1并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．3.泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在x0处具有n阶导数的函数利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法.若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：·1·f(x)f(n)(x)f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+0(x-x)2+⋯+0(x-x)n+R(x)0002!0n!0n(n)其中：f(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩n余的R(n)(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：23nn+1xxxxxxθx(1)e=1++++⋯++e，其中0<θ<1；1!2!3!n!n+1!23nn+1n+1xxn-1xnx1(2)ln1+x=x-+-⋯+-1+Rn，其中Rn=-1；2!3!n!n+1!1+θx352k-12k+1xxk-1xkx(3)sinx=x-+-⋯+-1+Rn，其中Rn=-1cosθx；3!5!2k-1!2k+1!242k-22kxxk-1xkx(4)cosx=1-+-⋯+-1+Rn，其中Rn=-1cosθx；2!4!2k-2!2k!12nn(5)=1+x+x+⋯+x+o(x)；1-xn(n-1)(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2)；2!3x252n(7)tanx=x++x+⋅⋅⋅+ox；31511213n(8)1+x=1+x-x+x+⋅⋅⋅+ox．28165.麦克劳林(Maclaurin)公式f(0)f(n)(0)f(x)=f(0)+f(0)x+x2+⋯+xn+R(x)2!n!n虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.6.常见函数的麦克劳林展开式：2nθxxxxen+1(1)e=1+x++⋯++x2!n!(n+1)!352n+1xxnx2n+2(2)sinx=x-+-⋯+(-1)+o(x)3!5!(2n+1)!2462nxxxnx2n(3)cosx=1-+-+⋯+(-1)+o(x)2!4!6!(2n)!23n+1xxnxn+1(4)ln(1+x)=x-+-⋯+(-1)+o(x)23n+112nn(5)=1+x+x+⋯+x+o(x)1-xn(n-1)(6)(1+x)n=1+nx+x2+o(x2)2!7.两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)x-1(1)、对数型超越放缩：≤lnx≤x-1(x>0)x·2·x1(2)、指数型超越放缩：x+1≤e≤(x<1)1-x8.极值点偏移问题的一般题设形式：(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2)若函数f(x)中存在x1,x2且x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；x+x(3)若函数f(x)存在两个零点x,x且x≠x，令x=12，求证：f'(x)>0；1212020x+x(4)若函数f(x)中存在x,x且x≠x满足f(x)=f(x)，令x=12，求证：f'(x)>0.121212020热点考题归纳题型一:不等式证明基础1已知函数fx=xlnx．(1)求曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程；2(2)求证：fx解析【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)首先将题意转化为证明lnx-x-1<0，令gx=lnx-x-1，利用导数求出函数的最大值即可证明.【详解】(1)f1=0，所以切点为1,0.fx=lnx+1，k=f1=ln1+1=1，所以切线为y=x-1.22(2)要证fx0.令gx==0，解得x=1.所以x∈0,1，xxxgx>0，gx为增函数，x∈1,+∞，gx<0，gx为减函数.所以gxmax=g1=-2<0，2所以lnx-x-1<0恒成立，即证fx0．【答案】(1)a=2；(2)证明见解析．【分析】(1)求出函数的导函数，再代入计算可得；·3·2x2x-12lnx(2)依题意即证fx=x-2xe+2ex-elnx>0，即x-2e+>，构造函数gx=exx-22lnxx-2e+，hx=，利用导数说明其单调性与最值，即可得到gx>hx，从而得证；ex22x22xe【详解】解：(1)因为fx=x-2xe+aex-elnx，所以fx=x-2e+ae-，x223e3ef2=+ae=+2e，解得a=2．222x2(2)由(1)可得fx=x-2xe+2ex-elnx2x2x-12lnx即证fx=x-2xe+2ex-elnx>0⇔x-2e+>．exx-22x-2令gx=x-2e+，gx=x-1e，于是gx在0,1上是减函数，在1,+∞上是增函数，所e1lnx1-lnx以gx≥g1=(x=1取等号)．又令hx=，则hx=，于是hx在0,e上是增函exx21数，在e,+∞上是减函数，所以hx≤he=(x=e时取等号)．所以gx>hx，即fx>0．e2已知函数f(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数f(x)在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(2)若a=0且x∈(0，1)，求证：x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex.【答案】(1)(-∞，22]；(2)证明见解析.【分析】(1)函数f(x)在定义域内为增函数，则f(x)≥0恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值，可得实数a的取值范围；(2)要证x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex，即证：x⋅(1-lnx)<(1+x-x3)⋅ex，构造g(x)=x⋅(1-lnx)，h(x)=(1+x-x3)⋅ex，分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立．1【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=+2x-a，又f(x)在定义域内为增函数，  x11则f(x)≥0恒成立，即a≤+2x恒成立，即a≤+2x，              xxmin12又当x>0时，+2x≥22，当且仅当x=时等号成立，∴a≤22，x2即实数a的取值范围是(-∞，22]；                                        (2)∵a=0，则f(x)=lnx+x2，要证x⋅[1+x2-f(x)]<(1+x-x3)⋅ex，即证：x⋅(1-lnx)<(1+x-x3)⋅ex，                                       设g(x)=x⋅(1-lnx)，其中x∈(0，1)，则g(x)=-lnx，当x∈(0，1)时g(x)>0，故g(x)在(0，1)为增函数，∴g(x)x3，1+x-x3>1，又11，则g(x)<10．ex-1·4·π【答案】(1)函数fx在0,上单调递增；(2)函数fx有三个零点，理由见解析；(3)证明见解析.2【分析】(1)利用导数判断函数的单调性；322(2)令fx=x-xcosx=0，所以x=0或x=cosx，再利用导数研究函数g(x)=x-cosx的零点即得解；2x(3)即证x-cosx>-2,再求两边函数的最值即得解.ex-11sinxcosxπ【详解】(1)n=-1时，fx=x-cosx，∴f(x)=1++>0在0,上恒成立，所以函数xxx22πfx在0,上单调递增.23322(2)n=1时，fx=x-xcosx，令fx=x-xcosx=0，所以x=0或x=cosx.令g(x)=x-cosx,∴g(x)=2x+sinx，因为g(-x)=x2-cosx=g(x)，所以函数g(x)是偶函数.不妨研究x≥0函数g(x)的单调性.当x∈[0,π]时，g(x)=2x+sinx≥0，所以函数g(x)单调递增，所以g(x)=x2-cosx≥g(0)=-1，因为g(2)=4-cos2>0，所以函数g(x)在(0,π]内有一个零点；当x∈(π,+∞)时，设h(x)=2x+sinx,∴h(x)=2+cosx>0，所以函数h(x)单调递增，所以函数g(x)=2x+sinx单调递增.所以g(x)=x2-cosx≥g(π)=π2+1>0，所以函数g(x)在(π,+∞)内没有零点.根据函数的奇偶性得函数fx有三个零点.综上所述，函数fx有三个零点.22x2x2(3)n=0时，fx=x-cosx，即证x-cosx+2->0.即证x-cosx>-2.由