专题05 含参函数的单调性讨论(原卷版)

2023-11-08 · U1 上传 · 6页 · 18.2 K

专题05 含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性,其本质就是讨论导函数符号的变化情况,所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分,即导数的主要部分,简称导主.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响,一般来说需要进行四个层次的分类:(1)最高次幂的系数是否为0,即“是不是”;(2)导函数是否有变号零点,即“有没有”;(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内,即“在不在”;(4)导函数的变号零点之间的大小关系,即“大不大”.牢记:十二字方针“是不是,有没有,在不在,大不大”.考点一 导主一次型【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R),讨论函数f(x)的单调性.【对点训练】1.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).讨论函数f(x)的单调性.2.已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),讨论函数f(x)的单调性. 考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中,导数的解析式通过化简变形后,通常可以转化为一个二次函数的含参问题.对于二次三项式含参问题,有如下处理思路:(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数.如果二次项系数有参数,就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论;(2)其次考虑二次三项式能否因式分解,如果二次三项式能因式分解,这表明存在零点,只需讨论零点是否在定义域内,如果x1,x2都在定义域内,则讨论个零点x1,x2的大小;如果二次三项式不能因式分解,这表明不一定存在零点,需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论;【例题选讲】命题点1 是不是+有没有+在不在[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.讨论f(x)的单调性.[例3] (2018·全国Ⅰ节选)已知函数f(x)=eq\f(1,x)-x+alnx,讨论f(x)的单调性.[例4] 设函数f(x)=alnx+eq\f(x-1,x+1),其中a为常数.讨论函数f(x)的单调性.【对点训练】3.(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f(x)=x3-kx+k2.讨论f(x)的单调性. 4.已知函数f(x)=x-eq\f(2,x)+1-alnx,a>0.讨论f(x)的单调性.5.已知函数f(x)=(1+ax2)ex-1,当a≥0时,讨论函数f(x)的单调性.命题点2 是不是+在不在+大不大[例5] 已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.[例6] 已知函数f(x)=x2e-ax-1(a是常数),求函数y=f(x)的单调区间.[例7] 已知函数f(x)=(a+1)lnx+eq\f(1,x)-ax+2(a∈R).讨论f(x)的单调性.[例8] 已知函数f(x)=aln(x+1)-ax-x2,讨论f(x)在定义域上的单调性.[例9] (2016·山东)已知f(x)=a(x-lnx)+eq\f(2x-1,x2),a∈R.讨论f(x)的单调性.【对点训练】6.已知函数f(x)=eq\f(1,2)ax2-(a+1)x+lnx,a>0,试讨论函数y=f(x)的单调性.7.已知函数f(x)=x2eax+1+1-a(a∈R),求函数f(x)的单调区间.8.已知函数f(x)=(a-1)lnx+ax2+1,讨论函数f(x)的单调性.9.已知函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k+\f(4,k)))lnx+eq\f(4-x2,x),其中常数k>0,讨论f(x)在(0,2)上的单调性.10.已知函数f(x)=ln(x+1)-eq\f(ax2+x,(x+1)2),且1

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