专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)(解析版)

2023-11-08 · U1 上传 · 12页 · 158.4 K

专题07 构造函数解决导数不等式问题(二)考点四 构造F(x)=f(x)±g(x),F(x)=f(x)g(x),F(x)=eq\f(f(x),g(x))类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)=f(x)+axn+b,则F′(x)=f′(x)+naxn-1;(2)若F(x)=f(x)±g(x),则F′(x)=f′(x)±g′(x);(3)若F(x)=f(x)g(x),则F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);(4)若F(x)=eq\f(f(x),g(x)),则F′(x)=eq\f(f′(x)g(x)-f(x)g′(x),[g(x)]2).由此得到结论:(1)出现f′(x)+naxn-1形式,构造函数F(x)=f(x)+axn+b;(2)出现f′(x)±g′(x)形式,构造函数F(x)=f(x)±g(x);(3)出现f′(x)g(x)+f(x)g′(x)形式,构造函数F(x)=f(x)g(x);(4)出现f′(x)g(x)-f(x)g′(x)形式,构造函数F(x)=eq\f(f(x),g(x)).【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=3,对任意x∈R,f′(x)<3,则f(x)>3x+6的解集为( )A.{x|-1-1} C.{x|x<-1} D.R答案 C 解析 设g(x)=f(x)-(3x+6),则g′(x)=f′(x)-3<0,所以g(x)为减函数,又g(-1)=f(-1)-3=0,所以根据单调性可知g(x)>0的解集是{x|x<-1}.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对∀x∈R,f′(x)<eq\f(1,2),则不等式f(log2x)>eq\f(log2x+1,2)的解集为________.答案 (0,2) 解析 构造函数F(x)=f(x)-eq\f(1,2)x,则F′(x)=f′(x)-eq\f(1,2)<0,∴函数F(x)在R上是减函数.由f(1)=1,得F(1)=f(1)-eq\f(1,2)=1-eq\f(1,2)=eq\f(1,2),∴f(log2x)>eq\f(log2x+1,2)⇔f(log2x)-eq\f(1,2)log2x>eq\f(1,2)⇔F(log2x)>F(1)⇔log2x<1⇔0<x<2.(3)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1,且2f′(x)>1,当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(3π,2)))时,不等式f(2cosx)>eq\f(3,2)-2sin2eq\f(x,2)的解集为( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(4π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(4π,3))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(π,3)))答案 D 解析 令g(x)=f(x)-eq\f(x,2)-eq\f(1,2),则g′(x)=f′(x)-eq\f(1,2)>0,∴g(x)在R上单调递增,且g(1)=f(1)-eq\f(1,2)-eq\f(1,2)=0,∵f(2cosx)-eq\f(3,2)+2sin2eq\f(x,2)=f(2cosx)-eq\f(2cosx,2)-eq\f(1,2)=g(2cosx),∴f(2cosx)>eq\f(3,2)-2sin2eq\f(x,2),即g(2cosx)>0,∴2cosx>1,又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(3π,2))),∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(π,3))).(4)f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f′(x)>2x.若f(a-2)-f(a)≥4-4a,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞)答案 A 解析 令G(x)=f(x)-x2,则G′(x)=f′(x)-2x.当x∈[0,+∞)时,G′(x)=f′(x)-2x>0,∴G(x)在[0,+∞)上是增函数.由f(a-2)-f(a)≥4-4a,得f(a-2)-(a-2)2≥f(a)-a2,即G(a-2)≥G(a),又f(x)是定义在R上的偶函数,知G(x)是偶函数.故|a-2|≥|a|,解得a≤1.(5)已知f′(x)是函数f(x)的导数,且f(-x)=f(x),当x≥0时,f′(x)>3x,则不等式f(x)-f(x-1)<3x-eq\f(3,2)的解集是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))答案 D 解析 设g(x)=f(x)-eq\f(3,2)x2,则g′(x)=f′(x)-3x.因为当x≥0时,f′(x)>3x,所以当x≥0时,g′(x)=f′(x)-3x>0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增.因为f(-x)=f(x),所以g(-x)=f(-x)-eq\f(3,2)x2=f(x)-eq\f(3,2)x2=g(x),所以g(x)是偶函数.因为f(x)-f(x-1)<3x-eq\f(3,2),所以f(x)-eq\f(3,2)x20时,f(x)+f′(x)·xlnx<0,则不等式(x-1)f(x)>0的解集为________.答案 (0,1) 解析 由于函数y=f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0.当x>0时,f(x)+f′(x)·xlnx<0,则f(1)<0.当x>0时,构造函数g(x)=f(x)lnx,则g′(x)=f′(x)lnx+f(x)·eq\f(1,x)=eq\f(f(x)+f′(x)·xlnx,x)<0,所以函数y=g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且g(1)=0.当0g(1)=0,即f(x)lnx>0,此时f(x)<0;当x>1时,lnx>0,g(x)0时,f(x)<0.由于函数y=f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)>0.对于不等式(x-1)f(x)>0,当x<0时,x-1<0,则f(x)<0,不符合题意;当01时,x-1>0,则f(x)>0,不符合题意.综上所述,不等式(x-1)f(x)>0的解集为(0,1).(7)(多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对任意x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是( )A.2f(2)-3f(1)>5 B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+eq\f(1,2)x+eq\f(1,2)C.f(3)-2f(1)<7 D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+eq\f(1,2)x+eq\f(1,2)解析 CD 答案 设函数g(x)=eq\f(f(x)-x2,x+1),则g′(x)=eq\f((x+1)f′(x)-f(x)-(x2+2x),(x+1)2).因为(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确.当0<x<1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)>g(1)=eq\f(1,2),即eq\f(f(x)-x2,x+1)>eq\f(1,2),即f(x)>x2+eq\f(1,2)x+eq\f(1,2),故D正确,从而B不正确.即结论正确的是CD.(8)已知函数f(x),对∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f′(x)0时,g′(x)=f′(x)-x<0,所以g(x)在(0,+∞)上为减函数,又g(x)为奇函数,所以4-m≤m,解得m≥2.(9)已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+eq\f(f(x),x)>0,则函数F(x)=xf(x)+eq\f(1,x)的零点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 B 解析 依题意,记g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x),g(0)=0,当x>0时,g′(x)=x[f′(x)+eq\f(f(x),x)]>0,g(x)是增函数,g(x)>0;当x<0时,g′(x)=x[f′(x)+eq\f(f(x),x)]<0,g(x)是减函数,g(x)>0.在同一坐标系内画出函数y=g(x)与y=-eq\f(1,x)的大致图象,结合图象可知,它们共有1个公共点,因此函数F(x)=xf(x)+eq\f(1,x)的零点个数是1.(10)函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=eq\f(ex,x),f(2)=eq\f(e2,8),当x>0时,f(x)的极值状态是___________.答案 没有极大值也没有极小值 解析 因为x2f′(x)+2xf(x)=eq\f(ex,x),关键因为等式右边函数的原函数不容易找出,因此把等式左边函数的原函数找出来,设h(x)=x2f(x),则h′(x)=eq\f(ex,x),且h(2)=eq\f(e2,2),因为x2f′(x)+2xf(x)=eq\f(ex,x),则f′(x)=eq\

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