专题10 含参函数的极值、最值讨论(原卷版)

2023-11-08 · U1 上传 · 10页 · 22.4 K

专题10 含参函数的极值、最值讨论考点一 含参函数的极值【例题选讲】[例1] 设a>0,函数f(x)=eq\f(1,2)x2-(a+1)x+a(1+lnx).(1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线与直线y=-x+1垂直,求切线方程.(2)求函数f(x)的极值.[例2] 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)当a=eq\f(1,2)时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.[例3] 设f(x)=xlnx-eq\f(3,2)ax2+(3a-1)x.(1)若g(x)=f′(x)在[1,2]上单调,求a的取值范围;(2)已知f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.[例4] (2016·山东)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.[例5] 已知函数f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-1-\f(a,6)))ex+1,其中e=2.718…为自然对数的底数,常数a>0.(1)求函数f(x)在区间(0,+∞)上的零点个数;(2)函数F(x)的导数F′(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex-a))f(x),是否存在无数个a∈(1,4),使得lna为函数F(x)的极大值点?请说明理由.【对点训练】1.已知函数f(x)=lnx-eq\f(1,2)ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.2.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.3.已知函数f(x)=x2-3x+eq\f(a,x).(1)若a=4,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有3个极值点,求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)=ax-x2-lnx(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)存在极值,且这些极值的和大于5+ln2,求实数a的取值范围. 5.(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0.(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.考点二 含参函数的最值【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.[例2] 已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx.(1)当a>0时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)当a<0时,求函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))上的最小值.[例3] 已知函数f(x)=eq\f(lnx,x)-1.(1)求函数f(x)的单调区间及极值;(2)设m>0,求函数f(x)在区间[m,2m]上的最大值.[例4] 已知函数f(x)=eq\f(mlnx,x)+n,g(x)=x2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f(x)-\f(1,x)-\f(a,2)))(m,n,a∈R),且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)求实数m,n的值及函数f(x)的最大值;(2)当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-e,\f(1,e)))时,记函数g(x)的最小值为b,求b的取值范围.[例5] (2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.【对点训练】1.已知函数g(x)=alnx+x2-(a+2)x(a∈R).(1)若a=1,求g(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a). 2.已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.3.已知函数f(x)=ax-lnx,F(x)=ex+ax,其中x>0,a<0.(1)若f(x)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性,求实数a的取值范围;(2)若a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,e2))),且函数g(x)=xeax-1-2ax+f(x)的最小值为M,求M的最小值.4.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.5.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的取值范围. 考点三 含参函数的极值与最值的综合问题【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)=eq\f(ex,1+ax2),其中a为正实数,x=eq\f(1,2)是f(x)的一个极值点.(1)求a的值;(2)当b>eq\f(1,2)时,求函数f(x)在[b,+∞)上的最小值.[例2] 已知函数f(x)=aln(x+b)-eq\r(x).(1)若a=1,b=0,求f(x)的最大值;(2)当b>0时,讨论f(x)极值点的个数.[例3] 设函数f(x)=ax+e-x(a>1).(1)求证:f(x)有极值;(2)若x=x0时f(x)取得极值,且对任意正整数a都有x0∈(m,n),其中m,n∈Z,求n-m的最小值.[例4] 已知函数f(x)=alnx+eq\f(1,x)(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.[例5] 已知函数f(x)=(ax-1)lnx+eq\f(x2,2).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程;(2)设函数g(x)=f′(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈(0,e],求g(x1)-g(x2)的最小值.[例6] 已知函数g(x)=eq\f(x2,2)+x+lnx.(1)若函数g′(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;(2)函数f(x)=g(x)-mx,若f(x)存在单调递减区间,求实数m的取值范围;(3)设x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个极值点,若m≥eq\f(7,2),求f(x1)-f(x2)的最小值.【对点训练】1.已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的极值点;(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间(0,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数).2.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x3+x2,x<1,,alnx,x≥1.))(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.3.已知函数f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]上的最小值h(a).4.已知常数a≠0,f(x)=alnx+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围. 5.已知函数f(x)=asinx+sin2x,a∈R.(1)若f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上有极值点,求a的取值范围;(2)若a=1,x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2π,3)))时,f(x)≥bxcosx,求b的最大值.6.已知函数f(x)=lnx+eq\f(1,2)x2-ax+a(a∈R).(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且x2≥eq\r(e)x1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值

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