专题15 导数中同构与放缩的应用(原卷版)

2023-11-08 · U1 上传 · 11页 · 543.8 K

专题15 导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形,转化为形式结构相同或者相近的式子,通过整体思想或换元等将问题转化的方法,这体现了转化思想.此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.当然,用同构法解题,除了要有同构法的思想意识外,对观察能力,对代数式的变形能力的要求也是比较高的,考点一 部分同构携手放缩法(同构放缩需有方,切放同构一起上)【方法总结】在学习指对数的运算时,曾经提到过两个这样的恒等式:(1)当a>0且a≠1时,有,(2)当a>0且a≠1时,有再结合指数与对数运算法则,可以得到下述结论(其中x>0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3),(4),(6),再结合常用的切线不等式:,,,等,可以得到更多的结论(7),.,.(8),,(9),,【例题选讲】[例1] (1)已知,则函数的最大值为________.答案 -2 解析 .(当且仅当x+lnx+1=0取等号).(2)函数的最小值是________.答案 1 解析 (当且仅当x+lnx=0取等号).(3)函数的最小值是________.答案 1 解析 (当且仅当x+2lnx=0取等号).[例2] (1)不等式恒成立,则实数a的最大值是________.答案 1 解析 ,当且仅当x+lnx=0等号成立.(2)不等式恒成立,则正数a的取值范围是________.答案 解析 ,当x+lnx+1≤0时,原不等式恒成立,当x+lnx+1>0时,,由于,当且仅当x+lnx=1等号成立,所以,故.(3)不等式恒成立,则正数a的取值范围是________.答案 解析 .(4)已知函数,其中b>0,若恒成立,则实数a与b的大小关系是________.答案 解析 ,由于,当且仅当x+blnx=0等号成立,所以.(5)已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围是________.答案 解析 ,由于lnx+1≤x,ex≥ex,两者都是当且仅当x=1等号成立,则,所以.(6)已知不等式,对任意的正数x恒成立,则实数k的取值范围是________.答案 解析 ,由于ex≥ex,lnex≤x,两者都是当且仅当x=1等号成立,所以,则,所以.(7)已知不等式,对任意的正数x恒成立,则实数a的取值范围是________.答案 解析 ,当且仅当-ax+lnx=0,即时等号成立,由有解,易得.(8)已知函数有两个零点,则实数a的取值范围是________.答案 解析 ,令,显然该函数单调递增,即有两个根,即有两个根,令,在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.,.[例3] (2020届太原二模)已知函数.(1)若函数有两个零点,求实数a的取值范围;(2)若恒成立,求实数a的取值范围.解析 (1)定义域是,,①当时,,在定义域上单调递增,不可能有两个零点;②当时,由,得,当时,,在定义域上单调递增,当时,,在定义域上单调递减,所以当时,取得极大值.当时,,当时,,因为有两个零点,所以,解得.(2)要使恒成立,只要恒成立,只要恒成立,令,则,当且仅当时取等号.所以恒成立,实数a的取值范围为.【对点精练】1.函数的最小值为________.2.函数的最小值为________.3.函数的最大值是________.4.已知不等式,对任意正数x恒成立,则实数a的取值范围是________.5.已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围是________.6.已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围是________.7.已知a,b分别满足,则ab=________.8.已知x0是函数的零点,则________.考点二 整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中,很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一个函数),无疑大大加快解决问题的速度,找到这个函数模型的方法,我们就称为整体同构法.如,若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的单调性,如递增,再转化为g(x)≥h(x),这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时,称为同构方程),简称同构法.1.地位同等同构(主要针对双变量,合二为一泰山移)(1)eq\f(fx1-fx2,x1-x2)>k(x1eq\f(k(x1-x2),x1x2)=eq\f(k,x2)-eq\f(k,x1)f(x1)+eq\f(k,x1)>f(x2)+eq\f(k,x2)y=f(x)+eq\f(k,x)为减函数;含有地位同等的两个变x1,x2或p,q等的不等式,进行“尘化尘,土化土”式的整理,是一种常见变形,如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性,往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)2.指对跨阶同构(主要针对单变量,左同右同取对数)(1)积型:如,,后面的转化同(1)说明;在对“积型”进行同构时,取对数是最快捷的,同构出的函数,其单调性一看便知.(2)商型:(3)和差:如;.3.无中生有同构(主要针对非上型,凑好形式是关键)(1);(2);(3).【例题选讲】[例4] (1)若,则A. B. C. D.解析 设,则,故在上有一个极值点,即在上不是单调函数,无法判断与的大小,故A、B错;构造函数,,故在上单调递减,所以,选C.(2)若,都有成立,则a的最大值为( )A. B.1 C.e D.2e解析 ,即,令,则在上为增函数,在上恒成立,,令,解得x=1,在上为增函数,在上为减函数,,的最大值为1,选B.(3)已知,在区间内任取两实数p,q,且p≠q,不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.解析 ①当p>q时,即,令,则,在递减,即,在递减,在上恒成立,在上恒成立,在上恒成立,.②当p0.设g(x)=f′(x),则g′(x)=aex-1+eq\f(1,x2)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f′(x)在(0,+∞)上单调递增,当a=1时,f′(1)=0,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(1)=1,∴f(x)≥1成立;当a>1时,eq\f(1,a)<1,∴<1,∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))f′(1)=,∴存在唯一x0>0,使得f′(x0)=aex0-1-eq\f(1,x0)=0,且当x∈(0,x0)时f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时f′(x)>0,∴aex0-1=eq\f(1,x0),∴lna+x0-1=-lnx0,因此f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna=eq\f(1,x0)+lna+x0-1+lna≥2lna-1+2eq\r(\f(1,x0)·x0)=2lna+1>1,∴f(x)>1,∴f(x)≥1恒成立;当00,h(x)单调递增;在(1,+∞)上h′(x)<0,h(x)单调递减,∴h(x)max=h(1)=0,lna≥0,即a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞).【对点精练】1.已知函数,若对任意正数x1,x2,当x1>x2时,都有成立,则实数m的取值范围是________.2.已知函数,,当x2>x1时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.3.对不等式进行同构变形,并写出相应的一个同构函数.4.对方程进行同构变形,并写出相应的一个同构函数.5.对不等式进行同构变形,并写出相应的一个同构函数.6.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的最小值为________.7.已知函数,若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围是________.8.已知对任意,不等式恒成立,则实数k的取值范围为________.9.已知,不等式,对任意的实数恒成立,则实数a的最小值是( )A. B. C. D.10.已知函数,当时,恒成立,则实数m的取值范围为( )A.

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