专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题(解析版)

专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题在函数的综合问题中，常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．六大经典超越函数的图象函数f(x)＝xexf(x)＝eq\f(ex,x)f(x)＝eq\f(x,ex)图象函数f(x)＝xlnxf(x)＝eq\f(lnx,x)f(x)＝eq\f(x,lnx)图象考点一 x与lnx的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)＝h(x)lnx(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f(x)＝eq\f(lnx,h(x))(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．【例题选讲】[例1] 设函数f(x)＝xlnx－eq\f(ax2,2)＋a－x(a∈R)．(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．分析 (1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．解析 (1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－ax－1＝lnx－ax，令f′(x)＝0，可得a＝eq\f(lnx,x)，令h(x)＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点，h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，令h′(x)＝0，得x＝e，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(e)＝eq\f(1,e)，当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0，故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))．(2)当a＝2时，f(x)＝xlnx－x2＋2－x，k(x－2)＋g(x)＜f(x)，即k(x－2)＋2－2x－x2＜xlnx－x2＋2－x，整理得k(x－2)＜xlnx＋x，因为x＞2，所以k＜eq\f(xlnx＋x,x－2)．设F(x)＝eq\f(xlnx＋x,x－2)(x＞2)，则F′(x)＝eq\f(x－4－2lnx,(x－2)2)．令m(x)＝x－4－2lnx(x＞2)，则m′(x)＝1－eq\f(2,x)＞0，所以m(x)在(2，＋∞)上单调递增，m(8)＝4－2ln8＜4－2lne2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln10＞6－2lne3＝6－6＝0，所以函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，即x0－4－2lnx0＝0，故当2＜x＜x0时，m(x)＜0，即F′(x)＜0，当x＞x0时，F′(x)＞0，所以F(x)min＝F(x0)＝eq\f(x0lnx0＋x0,x0－2)＝eq\f(x0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x0－4,2))),x0－2)＝eq\f(x0,2)，所以k＜eq\f(x0,2)，因为x0∈(8，10)，所以eq\f(x0,2)∈(4，5)，故k的最大值为4．点评 1．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．2．对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．【对点训练】1．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln6,6)，则( )A．ab>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在a，b满足a·be2，则正确结论的序号是( )A．(1)(3) B．(2)(3) C．(1)(4) D．(2)(4)2．答案 C 解析 由ab＝ba两边取对数得blna＝alnb⇒eq\f(lna,a)＝eq\f(lnb,b)．对于y＝eq\f(lnx,x)，由图象易知当be，be2，故(4)正确，(3)错误．因此，选C．3．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z3．答案 D 解析 令2x＝3y＝5z＝t(t>1)，两边取对数得x＝log2t＝eq\f(lnt,ln2)，y＝log3t＝eq\f(lnt,ln3)，z＝log5t＝eq\f(lnt,ln5)，从而2x＝eq\f(2,ln2)lnt，3y＝eq\f(3,ln3)lnt，5z＝eq\f(5,ln5)lnt．由t>1知，要比较三者大小，只需比较eq\f(2,ln2)，eq\f(3,ln3)，eq\f(5,ln5)的大小．又eq\f(2,ln2)＝eq\f(4,ln4)，e<3<4<5，由y＝eq\f(lnx,x)在(e，＋∞)上单调递减可知，eq\f(ln3,3)>eq\f(ln4,4)>eq\f(ln5,5)，从而eq\f(3,ln3)<eq\f(4,ln4)<eq\f(5,ln5)，3y<2x<5z，故选D．4．下列四个命题：①ln5<eq\r(5)ln2；②lnπ>eq\r(\f(π,e))；③<11；④3eln2>4eq\r(2)．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．答案 B 解析 构造函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．①ln5<eq\r(5)ln2⇒2lneq\r(5)<eq\r(5)ln2⇒eq\f(ln\r(5),\r(5))<eq\f(ln2,2)，又2<eq\r(5)eq\r(\f(π,e))⇒2lneq\r(π)>eq\f(\r(π),\r(e))⇒eq\f(ln\r(π),\r(π))>eq\f(\f(1,2),\r(e))＝eq\f(ln\r(e),\r(e))，又e>eq\r(π)>eq\r(e)，故正确．③<11⇒eq\r(11)ln2eq\r(11)>e，故正确．④3eln2>4eq\r(2)⇒>2×⇒>eq\f(lne,e)，显然错误．因此选B．5．已知函数f(x)＝kx2－lnx，若f(x)>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，\f(1,e))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2e))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，＋∞))5．答案 D 解析 由题意得f(x)>0在函数定义域内恒成立，即kx2－lnx>0在函数定义域内恒成立，即k>eq\f(lnx,x2)在函数定义域内恒成立，设g(x)＝eq\f(lnx,x2)，则g′(x)＝eq\f(x－2xlnx,x4)＝eq\f(x(1－2lnx),x4)，当x∈(0，eq\r(e))时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(eq\r(e)，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，所以当x＝eq\r(e)时，函数g(x)取得最大值，此时最大值为g(eq\r(e))＝eq\f(1,2e)，所以实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，＋∞))，故选D．6．已知0eq\f(lnx2,x1) B．eq\f(lnx1,x2)<eq\f(lnx2,x1) C．x2lnx1>x1lnx2 D．x2lnx10，得x>eq\f(1,e)，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上单调递增；由f′(x)<0，得00，得00，所以a≥eq\f(lnx,x2)．令g(x)＝eq\f(lnx,x2)，则g′(x)＝eq\f(1－2lnx,x3)．令g′(x)>0，得0