导数中的五大同构体系总结（解析版）

导数中的五大同构体系总结ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ题型一：导数中的结构一致性同构ˆˆˆˆˆˆ题型二：恒成立同构问题ˆˆˆˆˆˆ题型三：函数零点的同构问题ˆˆˆˆˆˆ题型四：同构出多变量之间的关系ˆˆˆˆˆˆ题型五：朗博同构与隐零点代换ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ题型一导数中的结构一致性同构【精选例题】x1x2x2e-x1e1若对任意的x1，x2∈-2,0，x1ax1-x2，整理得x2e+ax2>x1-x2x1x2xx2eaeaeax1e+ax1，因为x1x2>0，所以+>+，令fx=+，则函数fx在-2,0上递减，则x1x1x2x2xxxex-1-axxfx=≤0在-2,0上恒成立，所以ex-1≤a在-2,0上恒成立，令gx=ex2xxxxx-1，则gx=ex-1+e=xe<0在-2,0上恒成立，则gx=ex-1在-2,0上递减，所33以gx≤g-2=-，故只需满足：a≥-.故选：A.e2e2π2已知a=1，b=3,1，向量a与b的夹角为，若对任意x，x∈m,+∞，当x2a-b恒成立，则实数m的取值范围是()x1-x2122133A.,eB.e,+∞C.,eD.e,+∞ee【答案】Dπ2【详解】解：因为a=1，b=3,1，向量a与b的夹角为，所以2a-b=2a-b=3224a-4a⋅b+b=4-4×1×2×cosπ+4=2，因为对任意x，x∈m,+∞，当x2a-b恒成立，所以对任意x1，x2∈m,+∞，当x12恒成立，x1-x2x1-x2lnx22lnx12lnx2所以对任意x1，x2∈m,+∞，当x1e，所以gx的单调减区间为e，+∞，所以m≥e，则实数m的取值范围是[e,+∞)，故选：D2xfx1-fx2x1x23已知函数fx=x+1e，若对任意00，故fx1-fx2=fx1-fx2=2x12x2fx1-fx2x1x22x12x12x22x2x1+1e-x2+1e，故<λe-e⇔x1+1e-λe<x2+1e-λe，令gx=ex1+ex222x2x2x2x(x+1)x+1e-λe,x∈0,+∞，则gx=(x+1)e-2λe，令gx≤0，故2λ≥，令hx=ex22(x+1)1-x，故hx=，故当x∈0,1时，hx>0，当x∈1,+∞时，hx<0，即函数hx在exex420,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，故2λ≥h1=，解得λ≥，故实数λ的取值范围为ee2,+∞，故选：Defx1-fx24若函数fx对∀x1,x2∈a,b且x1≠x2都有>k(k>0)，则称函数fx在区间a,b上kx1-x22阶递增.已知函数gx=ax+1+lnx在2,+∞上2阶递增，则实数a的取值范围为()11A.2-3,+∞B.2+3,+∞C.,+∞D.,+∞42【答案】Cgx1-gx2【详解】由题意，对∀x1,x2∈2,+∞且x1≠x2都有>2成立，不妨设x12，则hx12在2,+∞上单调递增，即对于∀x∈2,+∞，hx=2ax+1+-2≥0恒成立，即对于x12x-12x-12x-22∀x∈2,+∞，2a≥恒成立，而==，令x-x2+xx2+x12133x-2+2x-2+414x-2+1+2x-23333134343414=tt>，则函数y=t+在,+∞上单调递增，则t+>+=2，即x-+>22t2t23212x-22x-121112，所以=<，所以2a≥，即a≥，23224x+x14x-2+1+2x-21所以实数a的取值范围为,+∞.故选：C.4【跟踪训练】1若2x-2y<3-x-3-y，则()A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<02xy-x-yx-xy-yt-tx-x【详解】由2-2<3-3得：2-3<2-3，令ft=2-3，∵y=2为R上的增函数，y=3为R上的减函数，∴ft为R上的增函数，∴x1，∴lny-x+1>0，则A正确，B错误；故CD无法确定.故选：A.12fx1-fx22已知函数fx=alnx+x，若对任意正数x1，x2x1≠x2，都有>2恒成立，则实数2x1-x2a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,+∞D.2,+∞【答案】Cf(x1)-f(x2)f(x1)-2x1-f(x2)-2x212【详解】根据>2，可知>0，令gx=fx-2x=alnx+xx1-x2x1-x22-2x(a>0)2f(x1)-2x1-f(x2)-2x2ax-2x+a由>0，知gx为增函数，所以gx=+x-2=≥x1-x2xx220x>0,a>0恒成立，分离参数得a≥2x-x，而当x>0时，2x-x在x=1时有最大值为1，故a≥1，即实数a的取值范围为1,+∞.故选：C.23已知fx=x+x+alnx(a∈R)．(1)讨论fx的单调性；(2)若a=1，gx=x+1-fx，∀x1,x2∈(0,+∞)，x1≠x2，x1gx2-x2gx1>λx1-x2恒成立，求实数λ的取值范围．-1+1-8a【详解】(1)当a≥0时，fx在区间0,+∞上单调递增；当a<0时，fx在区间0,上单4-1+1-8a调递减，在区间,+∞上单调递增.422(2)当a=1时，gx=x+1-x+x+lnx=-x-lnx+1，x∈0,+∞，∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，x1gx2-x2gx1x1-x2gx2gx111x1gx2-x2gx1>λx1-x2等价于>λ，即->λ-，令x1x2x1x2x2x1x2x1gxxgx-gx，，则11恒成立hx=x∈0,+∞hx2-hx1>λ-hx=2=xx2x1x12x-2x---x-lnx+12xlnx-x-221=，令Fx=lnx-x-2，x∈0,+∞，则Fx=-2x=x2x2x21-2x222，令Fx=0，解得x=，当x∈0,时，Fx>0，Fx在区间0,单调递增；当x∈x22222,+∞时，Fx<0，Fx在区间,+∞单调递减，∴当x∈0,+∞时，Fx的最大值为2222115215F=ln--2=-ln2-<0，∴当x∈0,+∞时，Fx=lnx-x-2≤-ln2-<0，22222222lnx-x-2gx即hx=<0，∴hx=在区间0,+∞上单调递减，不妨设x1hx2，又∵y=在区间0,+∞上单调递减，∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1xx111111λλ，∴hx2-hx1>λ-等价于hx1-hx2>λ-，∴hx1->hx2-，设x2x2x1x1x2x1x2λλλGx=hx-，x∈0,+∞，则∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1hx2-等价于Gx1>xx1x232λ22lnx-x-2Gx2，即Gx在(0,+∞)上单调递减，∴Gx=hx+≤0，∴λ≤-xhx，∴λ≤-x⋅x2x22151=-Fx，∵当x∈0,+∞时，Fx的最大值为F=-ln2-，∴-Fx的最小值为ln2+222251515，∴λ≤ln2+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是-∞,ln2+.22222题型二恒成立同构问题【精选例题】x+lnaalnx1若关于x的不等式->0对∀x∈0,1恒成立，则实数a的取值范围为()exx1111A.-∞,B.,+∞C.,1D.0,eeee【答案】Blnex+lnaalnxlnaexlnxlnx【详解】由题意可知a>0，>，即>对∀x∈0,1恒成立．设gx=，则exxaexxxx1-lnx问题转化为gae>gx在0,1上恒成立，因为gx=，所以当00，当xx2>e时，gx<0，所以gx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，又g1=0，所以当x∈0,1xx时，gx<0；当x∈1,+∞时，gx>0．①在x∈0,1上，若ae≥1恒成立，即a≥1，gae≥0>xxxxgx；②在x∈0,1上，若0x恒成立，即0，所以hx在0,1上单调递增，所以hx1时，ut>0，函数ut在1,+∞上单调递增，当0