多元函数最值问题（十二大题型）（解析版）

多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足lnx=yex+lny，则y-e-x的最大值为.1-2【答案】/ee2lnxxxxxxxxxy【解析】由lnx=ye+lny得ln=ye，所以ln=xe，则xe=ln⋅e，yyyylnxxyx因为x>0，e>0，e>0，所以ln>0，yxx令f(x)=xex>0，则f(x)=e(x+1)>0，所以fx在0,+∞上单调递增，lnxxxyxxx所以由xe=ln⋅e，即fx=fln，得x=ln，所以y=，yyyex-xx1x-1所以y-e=-=，exexexx-12-x令g(x)=x>0，则g(x)=，exex令g(x)>0，得02，所以g(x)在0,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，1-x1所以g(x)max=g(2)=，即y-e的最大值为．e2e2故答案为：1．e212(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m,n满足：m⋅em=(n-1)ln(n-1)=t(tlnt>0)，则的最大值为.m(n-1)【答案】1e【解析】由已知得，m>0,n-1>0,lnn-1>0，xx令fx=xe(x>0)，则fx=x+1e>0，∴fx在0,+∞上单调递增，又因为m⋅em=(n-1)ln(n-1)，所以fm=flnn-1,∴m=lnn-1，∴mn-1=(n-1)⋅lnn-1=t,lntlnt∴=，mn-1tlnt令gt=(t>0),t1-lnt所以gt=，t2则当t∈(0,e)时，g(t)>0，g(t)单调递增；当t∈(e,+∞)时，g(t)<0，g(t)单调递减；1所以g(t)=g(e)=.maxe故答案为：1.e3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤cx(y-x)恒成立,则实数c的最大值为.【答案】22-4【解析】因为对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤cx(y-x)恒成立，x222x-2yy-2所以c≤=，xy-x2xx2y-yxt2-2令=t>1，则c≤=f(t)，yt-t22(t-2+2)(t-2-2)t-4t+2，f(t)=22=22t-tt-t当t>2+2时，f(t)>0，函数f(t)单调递增；当10)，则(2xy-1)=(2yt-2)=(5y+2)(y-2)，即(4t-5)y+(8-8t)y+8=0，2y因此2223232Δ=(8-8t)-32(4t-5)≥0⇒2t+4t-7≤0，解得：00，x=>0，因此x+的最大值为-14t2-517-122122-162y232故答案为：-122(2023·全国·高三专题练习)设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ=.【答案】4a+b=d【解析】令a+b=d，由消去a得：(d-b)2+λb2=4，即(λ+1)b2-2db+d2-4=0，a2+λb2=44(λ+1)而b∈R，λ>0，则Δ=(2d)2-4(λ+1)(d2-4)≥0，d2≤，-2λ+1≤d≤2λ+1，λλλ依题意2λ+1=5，解得λ=4.λ故答案为：4题型三基本不等式法xy+yz1设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数fx,y,z=的最大值是.x2+y2+z2【答案】22【解析】引入正参数λ、μ.因为λ2x2+y2≥2λxy，μ2y2+z2≥2μyz，所以，λ212μ212xy≤x+y，yz≤y+z.22λ22μλ21μ212两式相加得xy+yz≤x++y+z.22λ22μλ1μ11令=+=，得λ=2，μ=22λ22μ22222故xy+yz≤x+y+z.2xy+yz2因此，fx,y,z=的最大值为.x2+y2+z22x-2y2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则的最5x2-2xy+2y2大值为.【答案】24【解析】由2x2+xy-y2=1，得(2x-y)(x+y)=1，41设2x-y=t,x+y=，其中t≠0.t112112221则x=t+,y=-t，从而x-2y=t-,5x-2xy+2y=t+，33t3t3tt21x-2yu记u=t-，则=，t5x2-2xy+2y2u2+2112不妨设u>0，则≤=,u+224u2u×u22当且仅当u=，即u=2时取等号，即最大值为.u4故答案为：2.4ab+bc3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则的最大值为．2a2+b2+c2【答案】64【解析】ab+bcab+bcab+bc16当且仅当∵222=≤==(2a=2a+b+c2a2+1b2+2b2+c222243323ab+23bc2336b，b=c时取等号)，33ab+bc6∴的最大值为.2a2+b2+c24故答案为：6.4题型四辅助角公式法1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．3【答案】1,2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβsinα+β+cosα+β=2sinα+β+4ππππ3π因为0<α<,0<β<,<α+β+<，22444π2所以2sinα+β+>2×=1，42sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ22=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ+cosβ+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，2令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t，22233所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t=-t-+≤.2223则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,.253故答案为：1,22y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．1【答案】-4,2【解析】y=cosαcosβ-sinαsinβ+cosα-cosβ-1=(cosβ+1)cosα-(sinβ)sinα-(cosβ+1)=(cosβ+1)2+sin2βsin(α+φ)-(cosβ+1)=2+2cosβsin(α+φ)-(cosβ+1)因为sin(α+φ)∈[-1,1]，所以-2+2cosβ-(cosβ+1)≤y≤2+2cosβ-(cosβ+1)，令t=1+cosβ，则t∈[0,2]，则-2t-t2≤y≤2t-t2，2221所以y≥-2t-t=-t++≥-4，(当且仅当t=2即cosβ=1时取等)；222221121且y≤2t-t=-t-+≤，(当且仅当t=即cosβ=-时取等)．222221故y的取值范围为-4,．2题型五柯西不等式法222221(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数ai，bi∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a1+a2+⋯+an=1，b1+b22+⋯+bn=1，则a1b1+a2b2+⋯+anbn最大值为()A.1B.2C.n2D.2n【答案】A2222222【解析】根据柯西不等式，a1+a2+⋯+anb1+b2+⋯+bn≥a1b1+a2b2+⋯+anbn，故a1b1+a2b2+⋯+an1bn≤1，又当a1=b1=a2=b2=...=an=bn=时等号成立，故a1b1+a2b2+⋯+anbn最大值为1n故选：A2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.【答案】1022222122【解析】由柯西不等式可得x+2y+z1++1≥(x+y+z)，25222222所以x+2y+z≥25，即x+2y+z≥10，2x2yz当且仅当==即x=2y=z也即x=2,y=1,z=2时取得等号，1112故答案为：102222223(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x+y+z=1，a+3b+6c=16，则x-a+y-b+z-c的最小值为.6【答案】9222222222【解析】∵a+3b+6c=16≤1+3+6a+b+c=4a+b+c222abc∴a+b+c≥4,当且仅当==时等号成立，即a=1,b=3,c=6，136222222∵x-a+y-b+z-c=1-2xa+by+cz+a+b+c≥1-2x2+y2+z2a2+b2+c2+a2+b2+c2=1-2a2+b2+c2+a2+b2+c22222abc136=a+b+c-1≥9，当且仅当==时等号成立，可取