导数新定义问题（解析版）

导数新定义问题一、单选题1．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A． B． C． D．【解析】由题知，，，由“新驻点”的概念知，，，则，，故选：D2．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】因为函数为“阶比增函数”，所以函数在上为增函数，所以令，故在上恒成立，所以在上恒成立，由于，所以.故实数的取值范围是，故选：A3．拉格朗日定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A． B． C． D．【解析】依题意可知，，且，不等式成立，它表示函数在区间上任意两点连线的斜率大于，即在区间上任意两点连线的斜率大于，所以即对任意恒成立，当时，（当且仅当时取等号），所以，即实数的最小值是.故选：C.4．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（）．A． B． C． D．【解析】，，，令，解得，，对称中心为，，，故选：B.5．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【解析】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，，，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.6．若的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若的图象上存在两对对偶点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】设是函数的图象关于原点对称的图象上任意一点，则在函数的图象上，所以，即，则函数有两对对偶点，转化为与的图象有两个交点，所以有两个零点．，当时，，时，，所以在上递减，在上递增，时，，在上有两个零点，则，解得．故选：A．7．定义：如果函数在上存在，满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】是上“双中值函数”，，又，，即在上有两个根，令，其对称轴为：，故，解得：.故选B．8．设函数在区间上的导函数为，记在区间上的导函数为.若函数在区间上为“凸函数”，则在区间上有恒成立.已知在上为“凸函数”，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】因为，所以，，要使在上为“凸函数”，则有在上恒成立，即，即在上恒成立，令，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以k的取值范围是，故选：A.二、多选题9．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）A． B． C． D．【解析】对于A，由，得，由，得或，所以函数有青山点，所以A正确，对于B，由，得，由，方程无解，所以函数不存在青山点，所以B错误，对于C，由，得（），由于和的图像有交点，所以方程有解，所以函数有青山点，所以C正确，对于D，由，得，由，得，所以有青山点，所以D正确，故选：ACD10．若函数在上单调递减，则称为函数，下列函数中为函数的是（）A． B． C． D．【解析】对于A选项，，则，当时，，此时，函数在区间上单调递减，A选项合乎题意；对于B选项，，则，当时，.当时，；当时，.此时，函数在区间上不单调，B选项不合乎题意；对于C选项，，则，当时，，此时，函数在区间上单调递减，C选项合乎题意；对于D选项，，则，当时，.当时，；当时，.此时，函数在区间上不单调，D选项不合乎题意.故选：AC.11．若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（）A． B． C． D．【解析】由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合；对于B选项，函数为偶函数，，令，可得或，如下图所示：由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合；对于C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；对于D选项，，设两切点得横坐标分别为和，则，所以，取，，则，，两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合.故选：BD.12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（）A．函数有3个不动点B．函数至多有两个不动点C．若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D．若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）【解析】令，，因此在R上单调递增，而，所以在R有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，A错误；，至多有两个实数根，所以至多有两个“不动点”，B正确；为定义在R上的奇函数，所以，函数为定义在R上的奇函数，显然是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此一定有奇数个“不动点”，C正确；因为在存在“不动点”，则在有解，即在有解，令，，令，，，在单调递减，在单调递增，∴，∴在恒成立，∴在单调递增，，，∴，D正确，.故选：BCD三、填空题13．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.其定理表述如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一个点使得等式成立，其中称为函数在闭区间上的中值点，函数在闭区间上的中值点为________【解析】根据题意，设函数在闭区间，上的中值点为，函数，其导数，所以，则有，即，又由，则14．设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”.设函数与在上是“密切函数”，则实数m的取值范围是_____.【解析】由题意在上恒成立，，设，则，当时，，递增，当时，，递减，所以，又，，所以，所以，解得．故答案为：15．对于函数可以采用下列方法求导数：由可得，两边求导可得，故.根据这一方法，可得函数的极小值为___________.【解析】由可得，两边求导可得，，由可得，故，当时，，当时，，故的极小值为.16．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：极大值，，如下图所示：由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.四、解答题17．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值【解析】（1）函数，则．由且，得，此方程组无解，因此，与不存在“”点．（2）函数，，则．设为与的“”点，由且，得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为与的“”点．因此，的值为．18．设是函数的导函数，我们把使的实数x叫做函数的好点.已知函数，（1）若0是函数的好点，求a；（2）若当时，函数无好点，求a的取值范围.【解析】（1）∵，∴，由，得，即，∵0是函数的好点，∴，∴.（2），由，得，即，令，将问题转化为讨论函数的零点问题，∵当时，，若函数不存在好点，等价于没有零点，即的最小值大于零，由得，，因为，则由得，∴当时，；当时，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，又当且仅当，即时，，∴无零点，无好点；a的取值范围为.19．已知函数.（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.①若，求证：为在上的上界函数；②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，所以函数的图象在处的切线斜率.又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；（2）①由题意得函数的定义域为.令，得.所以当时，；当时，.故函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因为，所以，故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，从而，所以，即，所以函数为在上的上界函数；②因为函数为在上的下界函数，所以，即.因为，所以，故.令，，则.设，，则，所以当时，，从而函数在上单调递增，所以，故在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而.因为在上恒成立，所以在上恒成立，故，即实数的取值范围为.20．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值，求的取值范围．【解析】（1），若函数为上的凸函数，则，即，令，，则当时，，当时，；当时，；当时，单调递减；当时，单调递增，，，解得：，的取值范围为.（2），，在上有极值，在有变号零点，，令，则，，，在上单调递增，；①当，即时，，在上单调递增，．即，在无零点，不合题意；②当，即时，则，使得，当时，，，单调递减，又，当时，，在上无零点；当时，，单调递增，又时，，在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点，在上有极值；综上所述：的取值范围为.21．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，.（1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由；（2）求证：当时，.【解析】（1），令则，在上单调递增，又当时，，在上单调递增，又当时，，∴当时，，与在上均单调递增，∴在上是“链式函数”.，令，则，∴在上单调递减，又当时，，∴在上单调递减，又当时，，∴当时，，与在上均单调递减，∴在上是“链式函数”.（2）当时，由（1）知，所以，又由（1）知，所以，两式相加得，即，令，则，所以在上单调递增，则当时，，即，∴当时，，故当时，.22．定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）（ⅰ）当时，求的弹性区间D；（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．【解析】（1）由，可得，则，令，解得，所以弹性函数的零点为.（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，因为，函数是弹性函数，此不等式等价于下面两个不等式组：（Ⅰ）或（Ⅱ），因为①对应的函数就是，由，所以在定义域上单调递增，又由，所以①的解为；由可得，且在上恒为正，则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，于是不等式组（Ⅰ）的解为，同①的解法，求得③的解为；因为时，④，所以不成立，所以不等式（Ⅱ）无实数解，综上，函数的弹性区间.（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，则，而，由（ⅰ）可知，在上恒为正，所以，函数在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.