专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，Aeq\f(f(x),Eg(x)E)A”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f′(x)，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f′(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f′(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数．构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上．构造函数的主要步骤：(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．考点一 构造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；(2)若F(x)＝Aeq\f(f(x),ExnE)A，则F′(x)＝Aeq\f(f′(x)xn－nxn－1f(x),Ex2nE)A＝Aeq\f(xf′(x)－nf(x),Exn＋1E)A．由此得到结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝Aeq\f(f(x),ExnE)A．【例题选讲】[例1](1)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是( )A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1，2) D．(2，＋∞)答案 D 解析 因为f(x)<－xf′(x)，所以f(x)＋xf′(x)<0，即(xf(x))′<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．由不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，可得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以Aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x2－1>0，,x2－1>x＋1，)E)A解得x>2．选D．(2)已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式Aeq\f(x＋2021fx＋2021,5E)A＜Aeq\f(5f5,x＋2021E)A的解集为( )A．{x|x＞－2016} B．{x|x＜－2016} C．{x|－2016＜x＜0} D．{x|－2021＜x＜－2016}答案 D 解析 构造函数g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]．当x＞0时，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵不等式Aeq\f(x＋2021fx＋2021,5E)A＜Aeq\f(5f5,x＋2021E)A，∴当x＋2021＞0，即x＞－2021时，(x＋2021)2f(x＋2021)＜52f(5)，即g(x＋2021)＜g(5)，∴00时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)答案 A 解析 设y＝g(x)＝Aeq\f(f(x),ExE)A(x≠0)，则g′(x)＝Aeq\f(xf′(x)－f(x),Ex2E)A，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0．∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知00，得g(x)<0，由图知x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A．(4)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________．答案 (－∞，－4)∪(0，4) 解析 构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．(5)已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立，则( )A．4f(1)＜f(2) B．4f(1)＞f(2) C．f(1)＜4f(2) D．f(1)＞4f′(2)答案 B 解析 令g(x)＝Aeq\f(f(x),Ex2E)A(x＞0)，则g′(x)＝Aeq\f(xf′(x)－2f(x),Ex3E)A，由不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立知g′(x)＜0，即g(x)在(0，＋∞)是减函数，∴g(1)＞g(2)，即Aeq\f(f(1),E1E)A＞Aeq\f(f(2),E4E)A，即4f(1)＞f(2)，故选B．(6)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝Aeq\f(f(e),EeE)A，b＝Aeq\f(f(ln2),Eln2E)A，c＝Aeq\f(f(－3),E－3E)A，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b答案 D 解析 设g(x)＝Aeq\f(f(x),ExE)A，则g′(x)＝Aeq\f(xf′(x)－f(x),Ex2E)A，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则g′(x)＝Aeq\f(xf′(x)－f(x),Ex2E)A＜0，即函数g(x)在x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数y＝f(x)为奇函数知f(－3)＝－f(3)，则c＝Aeq\f(f(－3),E－3E)A＝Aeq\f(f(3),E3E)A．∵a＝Aeq\f(f(e),EeE)A＝g(e)，b＝Aeq\f(f(ln2),Eln2E)A＝g(ln2)，c＝Aeq\f(f(3),E3E)A＝g(3)且3＞e＞ln2，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，即c＜a＜b，故选D．【对点训练】1．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2021)2f(x＋2021)－4f(－2)>0的解集为( )A．(－∞，－2021) B．(－∞，－2023) C．(－2023，0) D．(－2021，0)1．答案 B 解析 由2f(x)＋xf′(x)>x2，结合x∈(－∞，0)得2xf(x)＋x2f′(x)0可化为(x＋2021)2f(x＋2021)>(－2)2f(－2)，所以Aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2021<－2，,x＋2021<0，)E)A解得x<－2023．故选B．2．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．2．答案 (－2，0)∪(2，＋∞) 解析 令g(x)＝Aeq\f(f(x),ExE)A，则g′(x)＝Aeq\f(xf′(x)－f(x),Ex2E)A＞0，x∈(0，＋∞)．所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝Aeq\f(f(－x),E－xE)A＝Aeq\f(－f(x),E－xE)A＝Aeq\f(f(x),ExE)A＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．则f(x)＝xg(x)＞0⇔Aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,g(x)＞0)E)A或Aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,g(x)＜0.)E)A解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．3．答案 (－1，0)∪(0，1) 解析 构造F(x)＝Aeq\f(f(x),Ex2E)A，则F′(x)＝Aeq\f(f′(x)·x－2f(x),Ex3E)A，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．4．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x＜0时，有xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为________．4．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 构造F(x)＝Aeq\f(f(x),ExE)A，则F′(x)＝Aeq\f(f′(x)·x－f(x),Ex2E)A，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，可以推出当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有Aeq\f(xf′(x)－f(x),Ex2E)A<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．5．答案 (－∞，－2)∪(0，2) 解析 ∵当x>0时，Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),Ex))E)A′＝Aeq\f(xf′(x)－f(x),Ex2E)A<0，∴φ(x)＝Aeq\f(f(x),ExE)A在(0，＋∞)上为减函数，又f(2)＝