专题01 导数的运算(解析版)

专题01 导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(4)y＝ln(2x－5)．解析 (1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx．(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f((cosx)′ex－cosx(ex)′,(ex)2)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex)．(3)∵y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)xsin(4x＋π)＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(1,2)x·4cos4x＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x．(4)令u＝2x－5，y＝lnu．则y′＝(lnu)′u′＝eq\f(1,2x－5)·2＝eq\f(2,2x－5)，即y′＝eq\f(2,2x－5)．[例2] (1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)．若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________．答案 1 解析 f′(x)＝eq\f(ex(x＋a)－ex,(x＋a)2)＝eq\f(ex(x＋a－1),(x＋a)2)，则f′(1)＝eq\f(ae,(a＋1)2)＝eq\f(e,4)，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝．答案 －eq\f(7,4) 解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋eq\f(1,x)，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝eq\f(5,4)．∴f(x)＝2x2－eq\f(15,4)x＋lnx，∴f(1)＝2－eq\f(15,4)＝－eq\f(7,4)．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于( )A．－sinx－cosx B．sinx－cosx C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx答案 C 解析 ∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx．故选C．(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是( )A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex答案 AB 解析 对于A：f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴f″(x)＜0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝eq\f(1,x)－2，f″(x)＝－eq\f(1,x2)＜0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上不是凸函数，故D错误．故选AB．(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是( )A．x2－xlnx＋x B．x2－xlnx－x C．x2＋xlnx＋x D．x2＋2xlnx＋x答案 C 解析 由选项知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得eq\f(xf′(x)－f(x),x2)＝1＋eq\f(1,x)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),x)))′＝1＋eq\f(1,x)，故eq\f(f(x),x)＝x＋lnx＋c(c为待定常数)，即f(x)＝x2＋(lnx＋c)x．又f(1)≥1，则c≥0，故选C．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2) C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cosx)′＝－2xsinx1．答案 B 解析 (log2x)′＝eq\f(1,xln2)，故B正确．2．函数y＝xcosx－sinx的导数为( )A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx2．答案 B 解析 y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx．3．(多选)下列求导运算正确的是( )A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(sin2x)′＝2cos2xC．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)) D．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－eq\f(1,x)＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a为常数，∴sina为常数，∴(sina)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD．4．已知函数f(x)＝eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(1,x2)，则f′(x)＝．4．答案 eq\f(1,cos2x)－eq\f(2,x3) 解析 f′(x)＝eq\f((sinx)′·cosx－sinx·(cosx)′,cos2x)＋(x－2)′＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＋(－2)x－3＝eq\f(1,cos2x)－eq\f(2,x3)．5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，则f2019(x)＋f2021(x)＝( )A．－2cosx B．－2sinx C．2cosx D．2sinx5．答案 D 解析 由题意，f(x)＝xsinx，f1(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx，f2(x)＝f′1(x)＝cosx＋cosx－xsinx＝2cosx－xsinx，f3(x)＝f′2(x)＝－3sinx－xcosx，f4(x)＝f′3(x)＝－4cosx＋xsinx，f5(x)＝f′4(x)＝5sinx＋xcosx，…，据此可知f2019(x)＝－2019sinx－xcosx，f2021(x)＝2021sinx＋xcosx，所以f2019(x)＋f2021(x)＝2sinx，故选D．6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于( )A．e2 B．1 C．ln2 D．e6．答案 B 解析 f′(x)＝2021＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2022＋lnx，又f′(x0)＝2022，得2022＋lnx0＝2022，则lnx0＝0，解得x0＝1．7．已知函数f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋excosx，若f′(0)＝－1，则a＝．7．答案 2 解析 f′(x)＝eq\f(－(ax－1)′,(ax－1)2)＋excosx－exsinx＝eq\f(－a,(ax－1)2)＋excosx－exsinx，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2．8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝．8．答案 e2 解析 f′(x)＝eq\f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝eq\f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2．9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于( )A．－2 B．2 C．－eq\f(9,4) D．eq\f(9,4)9．答