专题03 曲线的公切线方程(原卷版)

专题03 曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(f(x1)－g(x2),x1－x2)．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l与曲线y＝eq\r(x)和圆x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，则l的方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq\f(1,2) C．y＝eq\f(1,2)x＋1 D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为．(3)曲线C1：y＝lnx＋x与曲线C2：y＝x2有________条公切线．(4)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝．(5)(2016·课标全国Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________．(6)已知曲线f(x)＝lnx＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，则实数a的取值范围为．【对点训练】1．若直线l与曲线y＝ex及y＝－eq\f(1,4)x2都相切，则直线l的方程为________．2．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝eq\f(ex,a)的图象相切，则实数a等于( )A．eq\r(e) B．eq\f(e\r(e),2) C．eq\f(\r(e),2) D．eeq\r(e)3．已知函数f(x)＝eq\r(x)＋1，g(x)＝alnx，若在x＝eq\f(1,4)处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为( )[A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2) C．1 D．44．若f(x)＝lnx与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )A．1 B．2 C．3 D．3或－15．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．6．已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________．7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )A．2 B．5 C．1 D．08．若直线y＝kx＋b是曲线y＝eq\f(ex,e2)的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于( )A．－eq\f(ln2,2) B．eq\f(1－ln2,2) C．eq\f(ln2－1,2) D．eq\f(ln2,2)9．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为________．10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为．11．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)＝( )A．－1 B．－2 C．1 D．212．曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝aex(a>0)存在公切线，则a的取值范围是________．13．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．14．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．