专题05 含参函数的单调性讨论(解析版)

专题05 含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1] 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．1．解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(a(1－x),x)，令f′(x)＝0，得x＝1，当a>0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a<0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a＝0时，f(x)为常函数．2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．2．解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝eq\f(1,x)－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，令f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)＝0，可得x＝eq\f(1,a)，当00；当x>eq\f(1,a)时，f′(x)＝eq\f(1－ax,x)<0，故函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递减．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．解析 由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．①当a≥eq\f(1,3)时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；②当a<eq\f(1,3)时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝eq\f(1－\r(1－3a),3)，x2＝eq\f(1＋\r(1－3a),3)，令f′(x)>0，则x0．讨论f(x)的单调性．4．解析 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋eq\f(2,x2)－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－ax＋2,x2).设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ<0，即00都有f′(x)>0．此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a＝2eq\r(2)时，仅对x＝eq\r(2)有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0．此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a>2eq\r(2)时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝eq\f(a－\r(a2－8),2)，x2＝eq\f(a＋\r(a2－8),2)，0